13:22 

Задача

Здравствуйте,

хочу свериться, правильно ли я делаю у сообщества. Дана фигура. Её объем 570

Задачка стандартная. Нужно найти минимальные параметры на рисунке, чтобы площадь всей поверхности была минимально при данном объеме.
Взял Sa площадь поверхности, выразил её через 3 переменных C, r, S
Нашел 3 частные производные по dC, dr, dS, приравнял к нулю и получились громадные уравнения, которое проблематично решить, т.к. там есть 5-я степень r
И все из-за шарика, который врезается в цилиндр, т.к. само нахождение объема этого сегмента громоздко

@темы: Производная

Комментарии
2017-10-03 в 15:03 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
А рисунок то где?... :upset:
да и выкладки было бы не плохо увидеть...

rom7, ....

2017-10-03 в 20:24 

Что-то не загружается. Ладно, выложу на обменник
postimg.org/image/6e8da4n6p7/



Выкладки лень выкладывать. Просто хотел узнать, это у меня так сложно получается, что выражение не упростить, или так и должно тут быть

2017-10-03 в 21:01 

Площадь поверхности фигуры
`pi*r*sqrt(c^2+r^2)+3420/r-2pi*r*c-8pi*s^2/r-2pi*sqrt(s^2-r^2)+4*pi*s^2-2pi*r*s+2pi*r*sqrt(s^2-r^2)`

после нахождения производной по с и приравнивания её к 0, получается уравнение
`с/sqrt(c^2+r^2)=2`

не имеет корней, не могу понять, где ошибся

2017-10-03 в 21:15 

все разобрался. Ошибка была. Но вопрос насчет сложности системы уравнений остается актуальным, очень громоздкие получаются

2017-10-03 в 21:28 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Могу искренне заблуждаться, но вроде минимальную поверхность при фиксированном объёме имеет шар... :upset:
Нельзя ли сразу сослаться на что-то подобное?...

Нужно найти минимальные параметры на рисунке
:upset: ... эмм ... переменных четыре штуки... и Вам надо найти минимум всех четырёх сразу?...
То есть Вы решаете задачу многоцелевой оптимизации?...

2017-10-03 в 21:44 

Все верно вы поняли - нужно минимизировать площадь поверхности фигуры именно при данном объеме. Шар мешает тем, что он врезается в цилиндр из-за этого у меня уравнения получаются невообразимо громоздкими, если я все правильно тут делаю. Без шара там получаются простые уравнения.

2017-10-03 в 21:45 

переменных 4 штуки, но я выразил h через них, используя объем 570 (сложил объемы элементов фигуры и приравнял к 570), т.к. эту переменную проще всего выразить было. В итоге число переменных сократилось до 3 штук.
Затем выразил через них площадь всей поверхности и нашел по каждой из них частные производные от функции этой площади, затем приравнял их к 0, образовалась система из трех уравнений, где надо найти c, r и s

Вот получается, что из-за неудобной формулы нахождения объема сегмента шара оно за собой все и потянуло.

Получается систему можно решить только вычислительными методами... или используя матем. программы...

2017-10-03 в 22:07 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
rom7, Шар мешает тем
Вы не поняли мой вопрос... можно ли сослаться сразу на результат, что для всевозможных фигур с фиксированным объёмом минимальную поверхность имеет шар... и сразу сказать, что тогда `h = c = r = 0`...

Про вопрос о минимальных значениях сразу четырёх переменных, Вы тоже не ответили...
Кстати, в случае шара - три переменных будут иметь минимальные из своих возможных значений...

2017-10-03 в 22:15 

Нет, фигура должна быть именно та, которая на рисунке.

Вы имеете ввиду на ваш вопрос
... эмм ... переменных четыре штуки... и Вам надо найти минимум всех четырёх сразу?...
То есть Вы решаете задачу многоцелевой оптимизации?...

Я ответил, что вы все правильно поняли. Это задача многоцелевой оптимизации и надо найти все 4 переменные

2017-10-03 в 22:21 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
rom7, Нет, фигура должна быть именно та, которая на рисунке.
Вообще-то говоря, шар - это частный случай указанной фигуры...
Или у Вас есть ограничение, что значения переменных строго больше нуля?... но тогда Вы минимизируете функцию на открытом множестве, где существование наименьшего значения не гарантированно...

Я ответил, что вы все правильно поняли. Это задача многоцелевой оптимизации и надо найти все 4 переменные
Дайте тогда пояснения на таком простом примере...
Как найти минимальные значения сразу двух переменных `A` и `B`, если `A + B = 5`?...
:duma2:

2017-10-03 в 22:28 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
И кстати, при чём тут минимум переменных вообще, если Вы говорите про минимум площади поверхности?... :upset:

2017-10-03 в 22:38 

Так не хочется громоздкие выкладки тут делать... попробую так объяснить.

1) Все верно, все эти переменные отличны от 0.
2) Я нахожу объем этой фигуры через эти четыре переменные и приравниваю его к 570. Затем из этого объема я выражаю переменную h через остальные 3 переменные
3) Я выражаю площадь всей поверхности этой фигуры через эти же 4 переменные, но вместо одной из них, т.е. h, я подставляю уже выведенное для неё выражение в пункте 2
4) Получается как бы функция трех переменных: зависимость площади поверхности фигуры от c, r, s
5) Нахожу частные производные этой функции по данным перменным и приравниваю их к нулю (всего три уравнения), чтобы определить критические точки данной функции, которая представляет собой зависимость площади поверхности от этих переменных. Все это с целю нахождения значений этих переменных, при которых площадь поверхности этой фигуры при данном объеме будет минимальной
Вот на пункте 5 и застрял, т.к. эти уравнения получились громоздкими

2017-10-03 в 22:43 

Т.е. это задачка наподобие
Пример 1. Найти экстремум функции
abc.vvsu.ru/books/u_functions/page0004.asp

только по этой ссылке пример из двух переменных

2017-10-03 в 22:59 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
1) Все верно, все эти переменные отличны от 0.
про это в исходном условии нет ни слова...
зато появились слова про "минимальные значения переменных" ... :upset:

попробую так объяснить. ....
я понимаю, что Вы делаете... но если обязательно использовать дифференциальное исчисление, то есть нельзя воспользоваться готовым фактом, то я отстал.... :nope:

Т.е. это задачка наподобие
Единственно, что можно заметить - уменьшение размерности задачи не всегда рационально, поскольку выражение для исключаемой переменной может быть само по себе нехорошим...
У Вас не просто задача о минимизации, а задача о нахождении условного экстремума...
Возможно метод множителей Лагранжа даст выкладки попроще...

2017-10-03 в 23:06 

Это задачка из американской школы. Там все по алгоритму такому.
Там просто была подобная задача, но без шара, там все хорошо упрощалось. А вот тут на всякий случай хотел узнать.

Но вообще про идею h = c = r = 0 я что-то не подумал, видимо с толку сбила пред задача

2017-10-03 в 23:11 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Это задачка из американской школы.
Бедные американские школьники... :weep3:

2017-10-03 в 23:32 

Да богатые они довольно).
Но за подсказку спасибо. "И фигура превращается... в шар)"

2017-10-03 в 23:39 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome...

2017-10-04 в 06:59 

Еще хотел спросить. А если рисунок будет другим - только цилиндр и на нем конус. Я правильно понял, что минимальная площадь тогда будет при высоте цилиндра = 0?
И тогда частный случай фигуры цилиндра с конусом будет сам конус?

2017-10-04 в 16:54 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
И тогда частный случай фигуры цилиндра с конусом будет сам конус?
это конечно частный случай... но
Я правильно понял, что минимальная площадь тогда будет при высоте цилиндра = 0?
не знаю... :nope: ... надо считать...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная