09:03 

Иранская геометрическая олимпиада

wpoms.
Step by step ...
Иранская геометрическая олимпиада

В сентябре этого года проводилась четвёртая Иранская геометрическая олимпиада.



Задачи разбиты на три уровня сложности: 7–8 классы (Elementary Level), 9–10 классы (Intermediate Level) и 11–12 классы (Advanced Level).
В нашей стране олимпиаду писали в пяти городах.

Сайт олимпиады: igo-official.ir

@темы: Планиметрия, Олимпиадные задачи

Комментарии
2017-09-26 в 09:33 

wpoms.
Step by step ...
Задачи для 9–10 классов, 2017 год

1. Пусть ABC - остроугольный треугольник и `A = 60^@.` Точки E, F - основания высот из вершин B, C соответственно. Докажите, что CE − BF = 3/2 (AC − AB).
%Proposed by Fatemeh Sajadi

2. Окружности ω1, ω2 пересекаются в точках A, B. Прямая, проходящая через B, пересекает ω1, ω2 в C, D соответственно. Точки E, F выбираются соответственно на ω1, ω2 так, что CE = CB, BD = DF. Пусть BF пересекает ω1 в P, и BE пересекает ω2 в Q. Докажите, что A, P, Q коллинеарны (лежат на одной прямой).
%Proposed by Iman Maghsoudi

3. На плоскости даны n точек (n > 2). Никакие три из них не лежат на одной прямой. Через каждые две из этих точек проводится прямая и среди остальных данных точек отмечается ближайшая к этой прямой (предполагается, что такая точка уникальна). Чему равно наибольшее возможное количество отмеченных точек?
%Proposed by Boris Frenkin (Russia)

4. Дан треугольник ABC (AB = AC), прямая l параллельна BC и проходит через A. Пусть D лежит на l. Пусть E, F являются основаниями перпендикуляров из A соответственно на BD, CD. Точки P, Q - проекции E, F на l. Докажите, что AP + AQ ≤ AB.
%Proposed by Morteza Saghafian

5. Точки X, Y лежат на стороне BC треугольника ABC и 2XY = BC. (X лежит между B, Y) Пусть AA0 будет диаметром описанной окружности треугольника AXY. Точка P является общей для AX и прямой, проведенной через B перпендикулярно BC, а Q - точка пересечения AY с прямой, проведенной через C перпендикулярно BC. Докажите, что касательная, проходящая через A0, к описанной окружности треугольника AXY проходит через центр описанной окружности треугольника APQ.
%Proposed by Iman Maghsoudi

2017-09-26 в 16:19 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Спасибо...

2017-09-27 в 15:19 

Задачи первых трёх олимпиад matol.kz/nodes/166

URL
2017-09-27 в 15:21 

1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, первая лига

Задача №1. Дан прямоугольный треугольник с углами $\angle A=90^\circ$ и $\angle C=30^\circ$. Обозначим через $\Gamma$ окружность, проходящую через точку $A$ и касающуюся отрезка $BC$ в его середине. Пусть $\Gamma$ пересекает отрезок $AC$ в точке $N$, а описанную окружность $\triangle ABC$ во второй раз точке $M$. Докажите, что $MN \perp BC$.

Задача №2. Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Обозначим через $K$ и $L$ основания перпендикуляров, опущенных из точек $F$ и $E$ соответственно на прямую $BC$. Пусть эти перпендикуляры пересекают вписанную окружность во второй раз в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите равенство $\frac{S_{BMD}}{S_{CND}}=\frac{DK}{DL}$.

Задача №3. Каждый из учеников Мехди и Мортеза нарисовали вписанный $93$-угольник. Обозначим первый $93$-угольник через $A_1A_2 \ldots A_{93}$, а второй через $B_1B_2 \ldots B_{93}$. Известно, что $A_iA_{i+1} \parallel B_iB_{i+1}$ для каждого $1 \leq i \leq 93$ (полагается, что $A_{94}=A_1$ и $B_{94}=B_1$). Докажите, что отношение $\frac{A_iA_{i+1}}{B_iB_{i+1}}$ не зависит от выбора $i$.

Задача №4. В треугольнике $ABC$ выполняется равенство $\angle C = \angle A+ 90^\circ$. На отрезке $BC$ за точку $C$ взята точка $D$ такая, что $AC=AD$. На плоскости взята точка $E$ такая, что точки $A$ и $E$ лежат по разные стороны от прямой $BC$ и $\angle EBC= \angle A$, $\angle EDC=\frac{1}{2} \angle A$. Докажите, что $\angle CED= \angle ABC$.

Задача №5. Да дуге $BC$ (не содержащей точки $A$), описанной окружности $\triangle ABC$, взяты точки $X$ и $Y$ такие, что $\angle BAX = \angle CAY$. Пусть точка $M$ — середина хорды $AX$. Докажите справедливость неравенства $BM+CM>AY.$

1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, вторая лига

Задача №1. Дан прямоугольный треугольник с углами $\angle A=90^\circ$ и $\angle C=30^\circ$. Обозначим через $\Gamma$ окружность, проходящую через точку $A$ и касающуюся отрезка $BC$ в его середине. Пусть $\Gamma$ пересекает отрезок $AC$ в точке $N$, а описанную окружность $\triangle ABC$ во второй раз точке $M$. Докажите, что $MN \perp BC$.

Задача №2. четырехугольнике $ABCD \ $ $\angle B=\angle D = 60^\circ$. Пусть точка $M$ — середина стороны $AD$, а точка $P$ взята на прямой $BC$ так, что $PM \parallel CD$. Рассмотрим точку $X$, лежащую на прямой $CD$, такую, что $BX=CX$. Докажите, что $AB=BP$ тогда и только тогда, когда $\angle MXB=60^\circ$.

Задача №3. Дан остроугольный треугольник $ABC$. Окружность $\Gamma$, с диаметром $BC$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Пусть $M$ — середина стороны $BC$ и $P$ — точка пересечения прямых $AM$ и $EF$. Пусть $XY$ — хорда окружности $\Gamma$ (точка $X$ лежит на дуге $EF$), проходящая через точку $P$. Докажите равенство $\angle XAY = \angle XYM$.

Задача №4. Касательная прямая в точке $A$ к описанной окружности $\Gamma$ остроугольного треугольника $ABC$ ($AC > AB$) пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Пусть $O$ — центр $\Gamma$. $X$ — точка прямой $OP$ такая, что $\angle AXP = 90^\circ$. На прямых $AB$ и $AC$ выбраны точки $E$ и $F$ соответственно так, что они лежат по одну сторону от прямой $OP$ и $\angle EXP = \angle ACX,$ $\angle FXO = \angle ABX.$ Обозначим через $K$ и $L$ точки пересечения прямой $EF$ с окружностью $\Gamma$. Докажите, что прямая $OP$ касается описанной окружности $\triangle KLX$.

Задача №5. Точки $P$ и $Q$ выбраны на стороне $BC$ треугольника $ABC$ так, что расстояния от этих точек до середины $BC$ равны. Перпендикуляры к $BC$, восстановленные в точках $P$ и $Q$, пересекают прямые $AC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Прямые $PF$ и $EQ$ пересекаются в точке $M$. Пусть $H_1$ и $H_2$ являются точками пересечения высот треугольников $BFP$ и $CEQ$ соответственно. Докажите, что $AM \perp H_1H_2$.

URL
2017-09-27 в 15:31 

2-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2015 год, первая лига, 7-8 классы

Задача №1. Имеются четыре прямоугольных треугольника сторона каждого из которых равна 3, 4, 5 сантиметрам. Сколько выпуклых многоугольников можно составить использовав все треугольники? (Нарисуйте только многоугольники без приведения доказательств). У выпуклого многоугольника все углы меньше $180^\circ$ и внутри него нет дырок. Например, первая фигура на рисунке ниже невыпуклая, а вторая выпуклая.


Задача №2. Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle A= 60^\circ$. На сторонах $BC$, $AC$ и $AB$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно так, что $BK=KM=MN=NC$. Известно, что $AN=2AK$. Найдите значения $\angle B$ и $\angle C$.

Задача №3. На рисунке ниже $AB=CD$, $BC=2AD$. Докажите, что $\angle BAD=30^\circ$.


Задача №4. На сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$, прямоугольника $ABCD$, взяты точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ соответственно так, что площади треугольников $AQM$, $BMN$, $CNP$, $DPQ$ равны. Докажите, что $MNPQ$ параллелограмм.

Задача №5. Существуют ли 6 окружностей на плоскости таких, что каждая окружность проходит через центры в точности трех других окружностей?

2-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2015 год, вторая лига, 9-10 классы

Задача №1. На рисунке ниже точки $P, A, B$ лежат на окружности, а точка $Q$ внутри окружности так, что $\angle{PAQ}=90^\circ$ и $PQ=BQ$. Докажите, что значение разности углов $\angle{AQB}-\angle{PQA}$ равна центральному углу, опирающемуся на дугу $AB$.


Задача №2. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$ из вершины $B$. Точки $D$ и $E$ являются серединами сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Пусть точка $F$ симметрична точке $H$ относительно прямой $ED$. Докажите, что прямая $BF$ проходит через центр описанной окружности $\triangle ABC$.

Задача №3. В треугольнике $ABC$ точки $M, N, K$ являются серединами сторон $BC, CA, AB$ соответственно. На сторонах $AC$ и $AB$ как на диаметрах во внешнюю сторону построены две полуокружности $\omega_B$ и $\omega_C$ соответственно. Предположим, что прямые $MK$ и $MN$ пересекают $\omega_C$ и $\omega_B$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Пусть касательные прямые в точках $X$ и $Y$ к $\omega_C$ и $\omega_B$ соответственно пересекаются в точке $Z$. Докажите, что $AZ \bot BC$.

Задача №4. В окружность $\omega$ с центром $O$ вписан правильный треугольник $ABC$. Пусть $P$ — точка дуги $BC$. Касательная прямая к $\omega$ в точке $P$ пересекает продолжения прямых $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что $\angle{KOL} > 90^\circ$.

Задача №5. a) Существуют ли 5 окружностей на плоскости таких, что каждая окружность проходит через центры в точности трех других окружностей?
b) Существуют ли 6 окружностей на плоскости таких, что каждая окружность проходит через центры в точности трех других окружностей?

2-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2015 год, третья лига, 11-12 классы

Задача №1. Две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$, с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ соответственно, пересекаются в точках $A$ и $B$. Точка $X$ лежит на $\omega_2$, а точка $Y$ лежит на $\omega_1$ так, что $\angle{XBY}=90^\circ$. Пусть $X'$ вторая точка пересечения прямой $O_1X$ и окружности $\omega_2$, а $K$ вторая точка пересечения прямой $X'Y$ и окружности $\omega_2$. Докажите, что $X$ — середина дуги $AK$ окружности $\omega_2$.

Задача №2. В окружность $\omega$ с центром $O$ вписан правильный треугольник $ABC$. Пусть $P$ — точка дуги $BC$. Касательная прямая к $\omega$ в точке $P$ пересекает продолжения прямых $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что $\angle{KOL} > 90^\circ$.

Задача №3. Пусть $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Через точку $H$ проведены две взаимно перпендикулярные прямые $l_1$ и $l_2$. Прямая $l_1$ пересекает сторону $BC$ и продолжение отрезка $AB$ в точках $D$ и $Z$ соответственно. А прямая $l_2$ пересекает сторону $BC$ и продолжение отрезка $AC$ в точках $E$ и $X$ соответственно. Пусть $Y$ — точка плоскости такая, что $YD\parallel AC$ и $YE\parallel AB$. Докажите, что $X, Y, Z$ лежат на одной прямой.

Задача №4. Дан треугольник $ABC$. Окружность с центром в точке $A$ и радиусом $AB$ пересекает прямую $AC$ в двух точках. Также окружность с центром в точке $A$ и радиусом $AC$ пересекает прямую $AB$ в двух точках. Обозначим эти четыре точки через $A_1, A_2, A_3, A_4$. Аналогично определим четверки точек $B_1, B_2, B_3, B_4$ и $C_1, C_2, C_3, C_4$. Пусть эти 12 точек лежат на двух окружностях. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Задача №5. На сторонах треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены прямоугольники $ABA_1B_2$, $BCB_1C_2$, $CAC_1A_2$. Пусть $C'$ — точка плоскости такая, что $C'A_1\perp A_1C_2$ и $C'B_2\perp B_2C_1$. Точки $A'$ и $B'$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $AA'$, $BB'$, $CC'$ пересекаются в одной точке.

URL
2017-09-27 в 15:34 

3-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2016 год, первая лига, 7-8 классы

Задача №1. Али хочет добраться из точки $A$ в точку $B$ (см. рис.). По дороге ему нельзя заходить в закрашенные участки плоскости, а в остальные — можно. Путешествовать Али можно не только по линиям сетки, но и по всей плоскости. Помогите Али найти самый короткий путь из точки $A$ в точку $B$. Просто нарисуйте путь и посчитайте его длину.


Задача №2. Вокруг треугольника $ABC$ $(AC>AB)$ описана окружность $\omega$. На стороне $AC$ и на окружности $\omega$ выбрали точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $CX=CY=AB$. При этом точки $A$ и $Y$ лежат по разные стороны от прямой $BC$. Прямая $XY$ пересекает окружность $\omega$ второй раз в точке $P$. Докажите, что $PB=PC$.

Задача №3. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ нет параллельных сторон. На каждой паре соседних сторон четырёхугольника $ABCD$ построили параллелограммы. Докажите, что среди четырех новых точек ровно одна лежит внутри четырёхугольника $ABCD$.

Задача №4. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle A=90^{\circ}$) серединный перпендикуляр к гипотенузе $BC$ пересекает прямую $AC$ в точке $K$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BK$ пересекает прямую $AB$ в точке $L$. Оказалось, что $CL$ — биссектриса угла $ACB$. Найдите все возможные значения углов $B$ и $C$.

Задача №5. Известно, что в выпуклом четырёхугольнике $ABCD$: $\angle ADC=135^{\circ}$, $\angle ADB -\angle ABD=2\angle DAB=4\angle CBD$, $BC=\sqrt{2} CD$. Докажите, что $AB=BC+AD$.

3-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2016 год, вторая лига, 9-10 классы

Задача №1. На боковых сторонах трапеции $ABCD$ ($AB \parallel CD$) как на диаметрах построены окружности $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $X$ и $Y$ произвольные точки на $\omega_1$ и $\omega_2$, соответственно. Докажите, что длина отрезка $XY$ не превосходит половины периметра четырёхугольника $ABCD$.

Задача №2. Окружности $C_1$ и $C_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Касательная в точке $A$ к окружности $C_1$ пересекает $C_2$ в точке $P$. Прямая $PB$ пересекает $C_1$ второй раз в точке $Q$ ($Q$ лежит вне $C_2$). Касательная к $C_2$, проходящая через точку $Q$, пересекает $C_1$ и $C_2$ в точках $C$ и $D$, соответственно. Точки $A$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $PQ$. Докажите, что $AD$ является биссектрисой угла $CAP$.

Задача №3. Найдите все натуральные числа $N$, для которых существует треугольник, который можно разрезать на $N$ подобных четырёхугольников.

Задача №4. Касательная в точке $A$ описанной окружности $\omega$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle A=90^{\circ}$) пересекает прямую $BC$ в точке $P$. $M$ — середина дуги $AB$, не содержащей вершину $C$. Прямая $PM$ пересекает $\omega$ второй раз в точке $Q$. Касательная к $\omega$ в точке $Q$ пересекает прямую $AC$ в точке $K$. Докажите, что $\angle PKC=90^{\circ}$.

Задача №5. Окружности $\omega$ и $\omega'$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Касательная к окружности $\omega$ в точке $A$ пересекает $\omega'$ в точке $C$; касательная к окружности $\omega'$ в точке $A$ пересекает $\omega$ в точке $D$. Биссектриса угла $CAD$ пересекает $\omega$ и $\omega'$ в точках $E$ и $F$, соответственно. Внешняя биссектриса угла $CAD$ пересекает $\omega$ и $\omega'$ в точках $X$ и $Y$, соответственно. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку $XY$ касается описанной окружности треугольника $BEF$.

3-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2016 год, третья лига, 11-12 классы

Задача №1. Окружности $\omega$ и $\omega'$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Касательная к окружности $\omega$, проходящая через точку $A$, пересекает окружность $\omega'$ в точке $C$. Касательная к окружности $\omega'$, проходящая через $A$, пересекает $\omega$ в точке $D$. Прямая $CD$ пересекает окружности $\omega$ и $\omega'$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Перпендикуляр из точки $E$ к прямой $AC$ пересекает $\omega'$ в точке $P$; перпендикуляр из точки $F$ к прямой $AD$ пересекает $\omega$ в точке $Q$; Точки $A$, $P$ и $Q$ лежат по одну сторону от прямой $CD$. Докажите, что точки $A$, $P$ и $Q$ лежат на одной прямой.

Задача №2. В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоту $AD$, $M$ середина стороны $AC$. На плоскости отметили точку $X$ такую, что $\angle AXB=\angle DXM=90^{\circ}$ ($X$ и $C$ лежат по разные стороны от $BM$). Докажите, что $\angle XMB=2\angle MBC $.

Задача №3. Продолжения сторон $AD$ и $BC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Точка $A$ лежит между $D$ и $P$. $I_1$ и $I_2$ — центры вписанных окружностей треугольников $PAB$ и $PDC$ соответственно. Пусть $O$ -- центр описанной окружности треугольника $PAB$, а $H$ — ортоцентр треугольника $PDC$. Докажите, что описанные окружности треугольников $AI_1B$ и $DHC$ касаются тогда и только тогда, когда касаются описанные окружности треугольников $AOB$ и $DI_2C$.

Задача №4. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$ , продолжения сторон $AD$ и $BC$ — в точке $F$. Точка $A$ лежит между $B$ и $E$, а также между $D$ и $F$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Окружность $\omega_1$ проходит через точку $D$ и касается прямой $AC$ в точке $P$. Окружность $\omega_2$ проходит через точку $C$ и касается прямой $BD$ в точке $P$. Пусть $X$ — точка пересечения окружности $\omega_1$ и прямой $AD$, а $Y$ — точка пересечения окружности $\omega_2$ и прямой $BC$. Пусть $Q$ — вторая точка пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Докажите, что перпендикуляр из точки $P$ к прямой $EF$, проходит через центр описанной окружности треугольника $XQY$.

Задача №5. Cуществуют ли шесть точек плоскости $X_1$, $X_2$, $Y_1$, $Y_2$, $Z_1$, $Z_2$ таких, что треугольники $X_iY_jZ_k$ подобны для всех наборов $i,j, k$, $1 \leqslant i, j, k \leqslant 2$?

URL
2017-09-27 в 17:48 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Картинки не отображаются...

2017-09-27 в 20:05 

А если перейти на сайт по ссылке?

URL
2017-09-28 в 00:01 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
А если перейти на сайт по ссылке? - ссылка из комментария у меня не открывается... :nope:

А пошарившись на сайте нашёл такую страницу... igo-official.ir/wp-content/uploads/2017/09/Ques... ... но не знаю - это наверное не тот год... :upset:

2017-09-28 в 06:13 

Мне не удаётся попасть например на некоторый форум в России, всё как-то уравновешивается. Попробуйте какой-нибудь прокси сервер.

URL
2017-10-05 в 21:36 

3 и 4 олимпиады, задания, решения
math.mosolymp.ru/olympiads_igo

URL
   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная