05:18 

Украина. 2017. Финал

Холщовый мешок
Соединённые Штаты являются для всего мира совестью
Украина. 2017. Финал

Чудовище высадилось. (c)


8 класс

1. У бизнесмена есть несколько сыновей и младшая дочь. Он решил на Новый год подарить им вместе 1000000 долларов. Распределил эту сумму следующим образом: сначала старшему сыну он выписал чек на некоторую ненулевую сумму `a_1,` а потом еще на 1/11 суммы, что осталась (то есть от `1000000 - a_1`). Далее, второму сыну он выписал чек на некоторую сумму `a_2,` а потом еще на 1/10 суммы, что осталась, третьему - соответственно на сумму `a_3,` а потом еще на 1/9 суммы, что осталась, и так далее. Оставшуюся сумму он отдал дочери.
Оказалось, что все дети получили в подарок одинаковую сумму денег. Какое наибольшее количество сыновей мог иметь бизнесмен, и какую начальную сумму `a_1` в этом случае мог получить старший сын?

2. На доске нарисовано n ячеек, они перенумерованы слева направо числами 1, 2, ..., n. В каждой ячейке записан знак +. Андрюша должен сделать n ходов. Первым ходом он меняет знак на противоположный в одной произвольной ячейке по своему выбору. Вторым ходом - в двух произвольных соседних ячейках, дальше - в трех соседних, и так далее. Предпоследним ходом он меняет знак в (n-1)-ной ячейках, стоящих подряд, и последним ходом меняет знак во всех n ячейках. Сможет ли Андрюша в конце получить во всех ячейках знак -, если а) n = 2017; б) n = 2018?

3. Найдите все пары натуральных чисел a, b, для которых выполняется равенство:
[a, b+2017] = [b, a+2017].
Здесь через [x, y] обозначено наименьшее общее кратное чисел x, y.

4. Внутри прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AB взята точка K, /_ AKC = 90 гр. и /_ CKB = 2/_ CAB. На отрезке KB нашлась такая точка T, что /_ KTC = /_ CAK. Прямая AK пересекает отрезок BC в точке P. Докажите, что /_ TPA = /_ ABC.

5. Какое наибольшее количество цифр может иметь число, удовлетворяющее следующим условиям: оно является n-ой степенью натурального числа (n должно быть натуральным числом, большим 1) и для некоторого натурального k его цифры слева направо от первой до k-й строго возрастают, а с k-й до последней - строго убывают.

6. Дан остроугольный треугольник ABC. Пусть D - точка, симметричная точке A относительно прямой BC. Прямые DB и DC второй раз пересекают описанную окружность w треугольника ABC в точках X и Y соответственно. Предположим, что точки X и Y лежат внутри отрезков DB и DC соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника XYD лежит на окружности w.

7. Задано натуральное число n >= 3. Олеся играет в следующую игру: в начале игры фишка находится на декартовой плоскости XOY в начале координат. Олеся передвигает фишку по следующим правилам: фишку можно двигать по плоскости только параллельно координатным осям. На первом этапе фишка должна переместиться на расстояние 1, на втором шаге - на расстояние 2, на третьем - на расстояние 3, и так далее (передвижение фишки на каждом новом шаге на 1 длиннее, по сравнению с предыдущим шагом). Всего Олеся делает n шагов. Ее проигрыш в этой игре равен максимальному расстоянию от фишки до начала координат на протяжении всей игры (не обязательно после n-го шага). Какого наименьшего проигрыша может добиться Олеся?

8. Для положительных чисел x, y, z выполняется равенство: x/(x^2+1) + y/(y^2+1) + z/(z^2+1) = 2/((x+y)(y+z)(z+x)).
Какие значения может принимать сумма xy + yz + zx?

@темы: Олимпиадные задачи

Комментарии
2017-09-13 в 05:09 

Белый и пушистый (иногда)
Спасибо. Порешаем.

2017-09-13 в 09:12 

Холщовый мешок
Соединённые Штаты являются для всего мира совестью
Порешаем.
Хоть кому-то это интересно. Ура!
Можно продолжить.

Людоед (c) затаился


9 класс

читать дальше

2017-09-13 в 16:35 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Спасибо...

2017-10-18 в 12:10 

Холщовый мешок
Соединённые Штаты являются для всего мира совестью
Спасибо...

Продолжим

10 класс

читать дальше

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная