22:50 

Функции

wpoms.
Step by step ...


Найдите все функции `f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}` такие, что для всех `x,\ y \in \mathbb{R}` выполняется
`f(x+yf(x+y)) = y^2 + f(xf(y+1))`.




@темы: Функции

Комментарии
2017-08-19 в 15:18 

Подставим `y = 0`, получим `f(x) = f(x*f(1))` (1)
Подставим в (1) `x = x*f(1)` , получим `f(x*f(1)) = f(x*(f(1))^2) = f(x)`, тогда `f(x) = f(x*(f(1))^n) , n in NN` (2)
1) Если `f(1) = 0`, то `f(x)` - константа, но подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что это решение ему не удовлетворяет.
Переходя к пределу в (2) при `n -> infty`, получим:
2) Если `|f(1)| >1`, то `f(x) = lim_(x -> infty) f(x)` . Если этот предел существует и равен числу, то `f(x)` - константа и не является решением исходного уравнения.
При остальных возможных случаях `f(x)` не существует.
3) Если `f(1) = -1`, тогда из (1) получаем, что `f(0) = 0` в силу нечётности функции.

Подставим в исходное уравнение `x = 1 , y = 0`, получим `f(f(1)) = 1 + f(0)`, если f(1) = 1, то `f(0) = 0`. Окончательно `f(0) = 0`.
Подставим в исходное уравнение `y = -1`, получим `f(x - f(x-1)) = 1 + f(x*f(0)) = 1` (3)
Подставляя `x = 1` в (3) получим `f(1) = 1`
Перепишем (3) в виде `f(x-f(x)+1) = 1` (4)
Пусть в исходном уравнении `f(x+y) = 1, x + y = x_0`, тогда `1 = y^2 + f((x_0 - y)*f(y+1))`, подставим `y = x_0`, получим `1 = x_0^2`
Тогда в (4) возможно два варианта:
`x - f(x) + 1= 1` и `x - f(x) + 1 = -1`, но второй вариант не подходит (подстановка x = 0)
Тогда f(x) = x - единственное решение.

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная