16:59 

Дунайское математическое соревнование

wpoms.
Step by step ...
Дунайское математическое соревнование

Дунайское математическое соревнование (Mathematical Danube Competition) - это тренировочное соревнование, в котором принимают участие школьники из Румынии, Болгарии, Молдовы.

Задачи олимпиады

@темы: Олимпиадные задачи

Комментарии
2017-07-06 в 17:12 

wpoms.
Step by step ...


Задачи 2016 года

Juniors

1. Рассмотрим сумму $S = x_1x_2 + x_3x_4 + \ldots + x_{2015}x_{2016},$ где $x_1, x_2, \ldots, x_{2016} \in \{\sqrt{3}-\sqrt{2}, \sqrt{3}+\sqrt{2}\}.$
Возможно ли, что $S = 2016?$

2. Найдите натуральное число $n > 1$ такое, что, для любого делителя $d > 1$ числа $n,$ числа $d^2 + d + 1$ и $d^2 - d + 1$ простые.

3. Рассмотрим треугольник $ABC,$ $AB < AC,$ в котором $I$ - точка пересечения биссектрис, точка $M$ - середина стороны $[BC].$ Пусть $IA = IM.$ Определите наименьшее возможное значение величины угла $AIM.$

4. Из квадрата $n \times n,$ где $n\in \N,$ $n \geq 2,$ вырезан угловой единичный квадратик.

Покажите, что оставшаяся часть квадрата может быть покрыта плитками, состоящими из 3 или 5 единичных квадратиков, показанными на рисунке.



Seniors

1.. Дан треугольник $ABC,$ $D$ --- основание высоты, проведенной из $A,$ $M$ --- середина стороны $BC.$ Пусть $S$ --- точка отрезка $DM$ и пусть $P, Q$ --- соответственно проекции $S$ на прямые $AB$ и $AC.$ Докажите, что длина отрезка $PQ$ не превышает одной четвертой периметра треугольника $ABC.$

2. В банке есть неповторяющийся набор $S$ кодов для его клиентов, каждый имеет вид последовательности 0 и 1, длина каждой последовательности равна $n.$ Два кода называются близкими, если они различаются ровно в одной позиции. Известно, что каждый код из $S$ имеет ровно $k$ близких кодов в $S.$

a) Покажите, что $S$ состоит из четного числа кодов.
b) Покажите, что $S$ содержит по крайней мере $2^k$ кодов.

3. Пусть $n > 1$ --- целое число и $a_1, a_2, \ldots, a_n$ --- положительные числа, сумма которых равна 1.

a) Покажите, что существует число $c \geq 1/2$ такое, что
\[\sum^n_{k=1} \frac{a_k}{1 + (a_0 + \ldots + a_{k-1})^2} \geq c,\]
где $a_0 = 0.$

b) Покажите, что ’лучшее’ значение $c$ не меньше $\pi/4.$

4. Докажите, что существует конечное множество положительных целых чисел $n$ таких, что
`(n/1 + 1) (n/2 + 2) (n/3 + 3) ... (n/n + n)`
является целым числом.



     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная