13:50 

Олимпиада Бенилюкс

wpoms.
Step by step ...
Олимпиада Бенилюкс

Математическая олимпиада Бенилюкса (The Benelux Mathematical Olympiad - BxMO) - математическое соревнование, в котором принимают участие старшеклассники из Бельгии, Люксембурга и Нидерландов. Участникам предлагаются 4 задачи, в основном соответствующие уровню простых задач ИМО или более легкие. В состав делегации от каждой страны входят 10 школьников и трое сопровождающих. Половина участников награждается бронзовыми, серебряными и золотыми медалями в отношении 3:2:1.

Задачи олимпиады

@темы: Олимпиадные задачи

Комментарии
2017-07-06 в 13:59 

wpoms.
Step by step ...


Задачи 2017 года

1. Найдите все функции $f : \mathbb{Q}_{>0}\to \mathbb{Z}_{>0}$ такие, что
$f(xy)\cdot \gcd\left( f(x)f(y), f\left(\frac{1}{x}\right)f\left(\frac{1}{y}\right)\right) = xyf\left(\frac{1}{x}\right)f\left(\frac{1}{y}\right),$
для всех $x, y \in \mathbb{Q}_{>0,}$ где $\gcd(a, b)$ обозначает наибольший общий делитель $a$ и $b.$

2. Дано целое число $n\geq 2.$ Алиса и Боб играют в игру. Имеется страна, территория которой состоит из $n$ островов. Ровно на двух из этих $n$ островов расположены заводы. В начале игры в стране нет мостов. Алиса и Боб поочерёдно делают ходы. Во время каждого хода игрок должен построить мост между двумя различными островами $I_1$ и $I_2$ так, что:

-- новый мост не соединяет $I_1$ и $I_2,$ если они уже были ранее связаны мостом.
-- хотя бы один из островов $I_1$ и $I_2$ должен быть соединен серией мостов с имеющим завод островом (или завод может располагаться на одном из этих островов). (В самом деле, доступ к заводу необходим для постройки моста.)

Проигрывает тот игрок, после хода которого появляется серия мостов между островами с заводами. (В самом деле, это приводит к началу индустриальной войны между заводами.) Пусть Алиса начинает игру. Определите (для каждого $n\geq 2$) у кого есть выигрышная стратегия.

(Примечание: Можно строить мосты, которые идут один над другим.)

3. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ угол $B$ равен $\angle C$ и $\angle D = 90^{\circ}.$ Пусть $|AB| = 2|CD|.$ Докажите, что биссектриса $\angle ACB$ перпендикулярна $CD.$

4. Бенилюксовым $n$-квадратом ($n\geq2$) называется сетка $n\times n,$ состоящая из $n^2$ ячеек, в каждой из которых написано положительное целое число, удовлетворяющая следующим условиям:

-- все $n^2$ написанных положительных чисел попарно различны.
-- если вычислить для каждой строки и каждого столбца наибольший общий делитель $n$ чисел, записанных в этой строке / столбце, то будут получены $2n$ различных результатов.

(a) Докажите, что в каждом бенилюксовом $n$-квадрате ($n \geq 2$) найдется число не меньшее $2n^2.$
(b) Назовем бенилюксовый $n$-квадрат минимальным, если $n^2$ чисел в его ячейках не более $2n^2.$ Найдите все $n\geq 2,$ для которых существует минимальный бенилюксовый $n$-квадрат.



   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная