07:37 

C6, квадраты чисел

Здравствуйте всем.

Решая задачу C6 из Открытого банка заданий ЕГЭ пришел к другой задаче, которую достаточно долго ;-) не могу решить. Итак, производная задача.

Можно ли разбить квадраты последовательных натуральных чисел `1,4,9,...,(N-1)^2,N^2` на две группы так, чтобы суммы чисел в каждой группе были равными, если: а) N=49; б) N=40?

Она в принципе решается?
Откуда это взято?
Может, это какая-то известная задача?

Кроме
А. Канель, А. Ковальджи. Как решают нестандартные задачи

Р. М. Федоров, А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи, И. В. Ященко. Московские математические олимпиады
какую книгу порекомендовали бы лично Вы?

Вот мой главный результат:
1. Запишем квадраты чисел таким образом:
`1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81`
`100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361`
`400, 441,..`
`900,...`
2. В силу свойств формулы `(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2` (1), где
`a=0,10,20,30,40,...` получаем, что разряд единиц в квадрате числа для каждой строчки будет повторяться:
`0,1,4,9,6,5,6,9,4,1` Сумма единиц: 45
`0,1,4,9,6,5,6,9,4,1` Сумма единиц: 45
...

Значит, решение для `N=49` тривиально: сумма единиц будет 45 * 5, это нечётное число, на две группы с одинаковыми суммами разбить нельзя в принципе.

3. И всё, приплыли! :-) Для N=40 такой фокус не прокатывает.

1) Хотел найти наименьшее N для которого это возможно, придумать алгоритм и показать, что он будет работать для N=40, но не могу. (Это возможно для N=8, но я это нашёл чистыми перебором);

2) Выписывал к кажым единицам десятки и сотни их квадратов, они тоже детерминированы в силу свойств формулы (1), даже сумму квадратов чисел нашёл для N=40 - она будет 22740 - значит, сумма цифр в каждой группе будет заканчиваться на 5 (хотя это видно и просто по сумме разрядов единиц). И куда дальше идти-то?

3) Заметил, что квадраты чисел всегда различаются на нечетное число и образуют последовательность:
`1`
`1+3`
`1+3+5`
`1+3+5+7`
`1+3+5+7+9`
`1+3+5+7+9+11`
`1+3+5+7+9+11+13`
`1+3+5+7+9+11+13+15`
...

4) Хотел рассматривать только пары квадратов чисел, ведь нам важна только разница между ними, не сами квадраты;

5) Геометрически интерпретировал квадраты чисел как площади квадратов со сторонами `1,2,3,...` и хотел как-то эти квадраты сгруппировать, перейти от самих квадратов к их диагоналям

и т.д. Я уже являюсь специалистом, как задачу решать НЕ надо. :-)


В общем, смотри мои вопросы выше. Спасибо.

@темы: ЕГЭ, Олимпиадные задачи, Посоветуйте литературу!, Теория чисел

Комментарии
2017-06-27 в 14:36 

Белый и пушистый (иногда)
1-я часть решается просто. Среди 49 квадратов 25 нечетных. Их алгебраическая сумма всегда нечетна, поэтому нельзя.
2-я часть основана на таком соотношении: `n^2-(n+1)^2-(n+2)^2+(n+3)^2=4`. Поэтому для каждых 8 последовательных квадратов можно так расставлять знаки, что их сумма будет равна 0.
Ссответственно разделение на 2 множества очевидно.

По поводу формулировки задачи. Любая олимпиадная задача, когда она встречается первый раз, сначала не решается. а потом становится олимпиадным фольклором.
Если хотите научиться решать такие задачи их надо просто решать. Либо из Канеля, либо поискать сборники олимпиад С.-Пб. ( там после олимпиады приводятся задачи с решениями.
А с опытом методика нахождения решений придет.
Вот последнее время издается серия " Школьные математические кружки", издано порядка 16-17 книг.
15-я книга серии - Блинков А.Д. Геометрия в негеометрических задачах
16-я книга серии - Кноп К.А. Азы теории чисел.
Поищите их, там по темам приведены разборы задач и даны задачи для самостоятельного решения.

2017-06-27 в 14:42 

Trotil
Я вручную нашёл равенство. Возможно, есть другие решения.

Не комильфо сразу ответ давать, для начала подскажу расположение квадратов старшe 19:

... + (sum i^2, i=19..33) = ... + (sum i^2, i=34..40)

Немного помогла эта ссылка

oeis.org/A000330

2017-06-27 в 14:45 

Trotil
А, ну раз есть решение проще, запишу своё:

1^2 + 2^2 + 4^2 + ( sum i^2,i=7..15) + + 17^2 + ( sum i^2,i=34..40) =
3^2+5^2+6^2+16^2 + (sum i^2,i=18..33)

Я искал ближайшую сумму к 11070 среди чисел sum i^2,i=n ... m.

2017-06-28 в 13:08 

VEk, Trotil благодарю за оперативные ответы. Задача решалась нежиданно просто.

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная