Олимпиада Португальского мира

[wpoms.]

Олимпиада Португальского мира

С 2011 года проводится олимпиада португалоязычных стран (Olimpíada de Matemática da Comunidade dos Países de Língua Portuguesa aka Olimpíada de Matemática da Lusofonia). В состав сборной каждой страны входят не более четырех участников и двух сопровождающих. Для решения предлагаются 6 задач, по три задачи в день. В олимпиаде 2016 года приняли участие сборные Анголы, Бразилии, Кабо-Верде, Гвинеи-Бисау, Мозамбика, Португалии, Сан-Томе и Принсипи и Восточного Тимора.

1. Сайт олимпиады 2016 года
2. Задачи олимпиады на портале artofproblemsolving.com

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

Задачи олимпиады-2016 1. Рассмотрим 10 различных положительных целых чисел таких, что у них нет общего простого делителя, но каждые два из них не взаимно просты. Чему равно наименьшее количество различных простых делителей произведения всех этих чисел? 2. Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B.$ Касательная к окружностям пересекает их в точках $E$ и $F.$ Для определенности положим, что точка $A$ лежит внутри треугольника $BEF.$ Точка $H$ --- ортоцентр $BEF,$ а $M$ --- середина отрезка $BH.$ Покажите, что $M$ лежит на прямой, проходящей через центры окружностей. 3. Пусть действительное число $\alpha$ является корнем многочлена с целыми коэффициентами $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0.$ Рассмотрим $G=|a_n|+|a_{n-1}|+\dots+|a_1|+|a_0|.$ Назовем $G$ уровнем стильности $\alpha.$ Чему равно четвертое по величине, среди чисел с уровнем стильности 3, действительное число $\alpha?$ 4. Восемь команд CPLP приняли участие в футбольном турнире, в котором каждая команда играла с каждой другой по одному разу. В футболе за победу команде начисляют три очка, на ничью --- одно, на поражение очки не начисляют. Четыре команды, занявшие первое место, набрали по 15 очков, а команды занявшие второе место --- по $N$ очков каждая. Найдите $N$, если всего было 12 ничьих. 5. Назовем числовую последовательность \textit{люсофомной}, если она соответствует трем условиям: 1) Первый член последовательности равен 1. 2) Каждый следующий член последовательности получается из предыдущего либо умножением на положительное простое число (2, 3, 5, 7, 11, \ldots), либо добавлением 1. 3) Последний член последовательности равен 2016. Например: 1 -> $\times 11$ -> 11 -> $\times 61 -> 671 -> + 1 -> 672 -> $\times 3$ -> 2016. Подсчитайте количество люсофомных последовательностей таких, что для их получения, как в примере выше, единица прибавляется ровно один раз и числа не умножаются дважды на одно и тоже простое число. 6. Докажите, что все степени 2 с целыми положительными показателями можно представить в виде $5xy-x^2-2y^2,$ где $x$ и $y$ нечетные положительные числа.