18:30 

Теория чисел. Корень многочлена и алгебраичность числа

IWannaBeTheVeryBest
Первую задачу я просто хочу проверить - прав я или нет.
"Проверить, является ли число алгебраическим?
`2sqrt(3) + 3sqrt(2)i`"
Число является алгебраическим, если оно является корнем какого-то многочлена с рациональными коэффициентами. Также, множество алгебраических чисел - поле.
Значит достаточно рассмотреть по отдельности каждое число.
1) `i` - алгебраическое: `x^2 + 1 = 0`
2) `3sqrt(2)` - алгебраическое: `x^2 - 18 = 0`
3) `2sqrt(3)` - алгебраическое: `x^2 - 12 = 0`
Значит исходное число - алгебраическое.
Вот со второй - проблемы.
"a - корень многочлена `x^3 + 2x + 7 = 0`. Корнем какого многочлена является число `a^2 + a - 3`?"
Пока из идей, только решить грубо
`(x - a)(x - b)(x - c) = (x^2 - x(a + b) + ab)(x - c) = x^3 - x^2(c + a + b) + x(ab + bc + ac) - abc`
И тупо система
`{(a + b + c = 0), (ab + bc + ac = 2), (-abc = 7):}`
Находим `a`, (хотя наверное любой другой корень тоже подойдет, но наверное имеется ввиду, что a - действительный корень, а остальные будут комплексными), подставляем в `a^2 + a - 3`, и находим простой многочлен, для которого это будет являться корнем.
А если имеется ввиду, что нужно найти такой многочлен, у которого корнями будут `a^2 + a - 3`, `b^2 + b - 3`, `c^2 + c - 3`, то это тоже будет несложно сделать.
Но наверняка это слишком грубо и сложно. Наверное можно быстрее.

@темы: Теория чисел

Комментарии
2017-06-13 в 23:09 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
"Проверить, является ли число алгебраическим?
У Вас по умному объяснено... :red:
а я по-деревенски - в явном виде ... для корней `2*sqrt{3} +- 3*sqrt{2}*i` имеет квадратичный многочлен `x^2 - 4*sqrt{3}*x + 30` ... умножим его на `x^2 + 4*sqrt{3}*x + 30` и получим многочлен с целыми коэффициентами...

Про второй вопрос...
ну, выписывать в лоб - сильно утомительно...
что-нибудь ещё подумаю...

2017-06-14 в 10:57 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
можно записать коэффициенты искомого многочлена по формулам Виета ... и выразить их через коэффициенты исходного, используя связи между симметричными многочленами...

но это тоже не быстро...

поэтому подумалось про другой вариант...

`a^2 + a -3 = (a + 1/2)^2 - 13/4`
Рассмотрим многочлен `(z^2 - (a + 1/2)^2)*(z^2 - (b + 1/2)^2)*(z^2 - (c + 1/2)^2) = f(z - 1/2) * (-1)*f(-1/2 - z)`, где `f` - исходный многочлен...
В полученном многочлене меняете `z^2` на `x + 13/4` и получаете ответ...

2017-06-14 в 12:21 

IWannaBeTheVeryBest
а я по-деревенски - в явном виде ...
Хотя да, можно было сразу так сделать, но я чето не додумался)) Решал так, как в голову пришло сначала.
Рассмотрим многочлен
Вот тут, как я понимаю, `z^2` выбрано как-то для удобства. Если мы подставим эту последнюю замену в скобки, то как раз получим разложение конечного многочлена на множители. Но я не понял, каким образом после равно получается это `f(z - 1/2) * (-1) * f(-1/2-z)` и почему можно с уверенностью сказать, что `f` - исходный многочлен.
Я так понимаю, все коэффициенты исчезли, так как они по отдельности являются корнями исходного уравнения.

2017-06-14 в 13:26 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
и почему можно с уверенностью сказать, что `f` - исходный многочлен.
он имеет вид `f = (x - a)*(x - b)*(x - c)`...

правда, проверьте вторые множители... про (-1)*f(-1/2 - z) я писал на вскидку - лень было бумажку доставать... :alles:

2017-06-14 в 17:01 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Хмм... Да, получается именно то, что слева. Вообще логично все по-сути и времени почти не занимает. Все что надо - не ошибиться в перемножении. Класс, спасибо))

2017-06-14 в 17:09 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome ...

2017-07-01 в 22:56 

главное побольше троеточий! типа загадка!!!!11111111111

URL
2017-07-01 в 23:00 

IWannaBeTheVeryBest
Гость, Эмм... Не с тобой общались.

2017-07-02 в 17:58 

И не с тобой

URL
2017-07-03 в 01:59 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Гость, И не с тобой
грубый Вы, как напильник... :nope: ...

2017-07-07 в 23:14 

Зачем везде троеточие ставить?

URL
2017-07-08 в 00:49 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Гость, это Вас раздражает?... не читайте... :nope:

2017-07-08 в 10:43 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, К слову, я спросил, как это решается. Чисто технически я врубился конечно. Но не понял немного, как это так все выходит))
`a^2 + a - 3 = b`
Теперь составляем еще 2 уравнения. Ну в описании к решению сказано, что надо выражать `b; b*a; b*a^2` через `1;a;a^2`. Что-то связанное с линейными пространствами. `b` уже выразили. Дальше что-то вроде этого
`c_1a^2 + c_2a + c_3 + b*a = a^3 + 2a + 7 = 0`
`c_1a^2 + c_2a + c_3 + a^3 + a^2 - 3a = a^3 + 2a + 7`
`(c_1 + 1)a^2 + (c_2 - 3)a + c_3 = 2a + 7`
`{(c_1 = -1), (c_2 = 5), (c_3 = 7):} => -a^2 + (5 + b)a + 7 = 0` - второе уравнение
`5 + b = (a^2 - 7)/a`; `(5 + b)a^2 = a^3 - 7a`
`c_1a^2 + c_2a + c_3 + a^3 - 7a = a^3 + 2a + 7 = 0`
`c_1a^2 + (c_2 - 7)a + c_3 = 2a + 7`
`{(c_1 = 0), (c_2 = 9), (c_3 = 7):} => (5 + b)a^2 + 9a + 7 = 0` - третье уравнение
Детерминант системы
`{(a^2 + a - (3 + b) = 0), (-a^2 + (5 + b)a + 7 = 0), ((5 + b)a^2 + 9a + 7 = 0):}`
равен 0, так как второе и третье уравнения - одинаковые.
Ну а раз так, то мы просто считаем детерминант системы, приравниваем его к 0 и получаем уравнение на `b`.
Правда я никак не могу это соотнести с материалом из линейной алгебры, хотя просто чувствую, что что-то похожее уже было там.

2017-07-08 в 14:47 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
IWannaBeTheVeryBest, я спросил, как это решается
эммм... :upset: ... ну, вариантов решения несколько... я предложил два, тут ещё один... в этой ситуации преподавателю надо было уточнять то, что он хотел увидеть... :nope:

я не большой знаток многих разделов алгебры... может быть поэтому это решение кажется мне достаточно искусственным... :nope:

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная