23:45 

Уравнение с бесконечным корнем

IWannaBeTheVeryBest
Прошу прощения за мой скудный словарный запас, но я не знал, как еще это назвать. Как эти уравнения называются
`sqrt(2 + xsqrt(2 + xsqrt(2 + \dots))) = x + 1`
Хоть найти как решаются, а то не гуглится, ибо не знаю, как точно назвать.

@темы: Теория чисел

Комментарии
2017-06-11 в 23:55 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Как эти уравнения называются
честно говоря, не знаю... :alles:

пределы от подобного сорта выражений ("бесконечных корней"(с) :alles:... ) рассматриваются как примеры применения теоремы Вейерштрасса о монотонной ограниченной последовательности...
видимо надо предел вычислить... а там и уравнение решать...

2017-06-12 в 00:02 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, рассматриваются как примеры применения теоремы Вейерштрасса о монотонной ограниченной последовательности...
А это точно теория чисел, а не мат.анализ?)) Впрочем, если так, то надо ее будет загуглить.
Я этот пример уже решил, но не совсем честно. Нашел в википедии, что `sqrt(2 + sqrt(2 + \dots)) = 2` Ну и ответ `x = 1` сам по себе напросился)) Хотя может тут больше решений... В вольфраме не знаю как такую штуку вбивать.

2017-06-12 в 00:06 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
А это точно теория чисел, а не мат.анализ?))
эммм... ну, теорема Вейерштрасса - это точно матан... :upset:

2017-06-12 в 00:08 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Нашел в википедии, что `sqrt(2 + sqrt(2 + \dots)) = 2` Ну и ответ `x = 1` сам по себе напросился))
ну, как бы если икс является решением, то возвели в квадрат... отняли два... поделили на икс... и снова получили `x + 1` ...

2017-06-12 в 00:20 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Хотелось бы честно решить это уравнение, если это представляется возможным конечно.
Приведу уравнение к виду
`xsqrt(2 + xsqrt(2 + \dots)) = x^2 + 2x - 1`
Последовательность `y_{n + 1} = xsqrt(2 + y_{n})`
`y_{n}` сходится. Тогда
`lim_{n->+\infty} y_{n} = a`
`lim_{n->+\infty} xsqrt(2 + y_{n}) = xsqrt(2 + a) = x^2 +2x - 1`
Это верно пока?)) Ну `y_{n}` сходится, так как справа от равно у нас же стоит число. По другому не может быть.

2017-06-12 в 12:09 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Хотелось бы честно решить это уравнение
тогда надо сначала найти область сходимости "суммы" из левой части... без использования равенства из уравнения...

2017-06-12 в 12:15 

IWannaBeTheVeryBest
В смысле область сходимости последовательности
`xsqrt(2 + y_n)`? Просто я про сумму не очень понял. Это же, вроде как, произведение))

2017-06-12 в 14:52 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Просто я про сумму не очень понял.
ну, в смысле область сходимости "бесконечного корня"(с) ... :alles:

2017-06-12 в 15:13 

IWannaBeTheVeryBest
Так... ну вообще я могу ошибаться, но просто не помню, как находится область сходимости рекурентно заданной последовательности. Может так?
`|x|sqrt(2 + a) < 1`
`|x| < 1/sqrt(2 + a)`
К `a` сходится последовательность `y_n`

2017-06-12 в 15:53 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
К `a` сходится последовательность `y_n`
Ну, предположить существование и получить какое-то условие на сам предел заранее можно...
но это только указание, на то, когда предела не существует заведомо...

Может так? `|x|sqrt(2 + a) < 1`
Вот не совсем понял происхождение этого неравенства...

В данном примере предположение о существовании предела вроде не даёт каких-то невозможных значений икса...
НО...
при `0 \le x \le 1` предел будет существовать, так как сверху можарируется сходящейся последовательностью...
при `x > 1` - на вскидку ограниченности не получается... :nope:
при `x < 0` - пока даже не понятно куда смотреть для сходимости... :upset:

Для примера подобных рассуждений (что приходит на ум) можно вспомнить про сумму геометрической прогрессии ...
`1 + q + q^2 + ... = 1/{1 - q}` ... правая часть может быть вычислена при `q != 1`... но это же не значит, что ряд сходится...

2017-06-13 в 15:37 

IWannaBeTheVeryBest
Аа стоп. Простите, я затупил. Вы же верно сказали. Возвести в квадрат, вычесть 2, поделить на икс. То есть
`x + 1 = ((x + 1)^2 - 2)/x`
Его решения и будут решением исходного уравнения. Да, точно.
К слову, а почему такое решение не является честным? Бесконечность же не ограничена. Соответственно мы можем сколько угодно раз возводить в квадрат, вычетать 2 и делить на икс. Или это не честно)) (ну в смысле не строго)

2017-06-13 в 20:48 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
ну, в принципе, если так поступить... и проверить, что при найденном значении слева есть сходимость, то наверное годится...

2017-06-14 в 22:19 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Умные люди подсказали такую теорему... mathworld.wolfram.com/HerschfeldsConvergenceThe...
Из неё вроде следует сходимость левой части при любом неотрицательном иксе...

2017-06-14 в 22:48 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Хмм, круто. Хорошо. А если корень комплексный?
И, к слову, может я что-то путаю, но у меня вроде как вид немного другой.
`lim x_0*(a + x_1*(a + x_2*(a + ...)^p)^p)^p`
Или это не важно в нашем случае?
upd: хотя я мог ошибиться про вид предела в нашем случае

2017-06-14 в 23:36 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
И, к слову, может я что-то путаю, но у меня вроде как вид немного другой.
неотрицательный икс можно внести под корень... тогда получится как в теореме...

А если корень комплексный?
это было бы слишком круто... :alles:

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная