Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
13:37 

Изопериметрическая задача

IWannaBeTheVeryBest
"Найти экстремум функционала `int_{0}^{1} y^2 + (y')^2 dx` при условии, что `int_{0}^{1} y^2 dx = 1`; `y(0) = y(1) = 0`"
kpfu.ru/docs/F1589821731/metod_report.pdf (страница 20).
Сначала составляется Лагранжиан:
`L = \lambda_0 (y^2 + (y')^2) + \lambda_1 * y^2`
Дальше надо составить уравнение Эйлера, решить его с данными условиями и проверить, обнуляются ли множители Лагранжа одновременно, дабы установить факт того, что необходимое условие экстремума первого порядка выполнено.
`L_y = 2\lambda_0 * y + 2\lambda_1 * y`
`L_(y') = 2\lambda_0 * y'`
`d/(dx) L_(y') = 2\lambda_0 * y''`
Уравнение Эйлера:
`2\lambda_0y + 2\lambda_1y - 2\lambda_0 * y'' = 0`
`y''\lambda_0 - (\lambda_0 + \lambda_1)y = 0`
Если `\lambda_0 = 0`, то `\lambda_1 = 0`. Есть конечно случай, когда `\lambda_1 \neq 0`, но тогда `y = 0`, а это противоречит первому условию `int_{0}^{1} y^2 dx = 1`.
Решая уравнение получаем, что
`y = C_1 * e^{sqrt((\lambda_0 + \lambda_1)/(\lambda_0))*x} + C_2 * e^{-sqrt((\lambda_0 + \lambda_1)/(\lambda_0))*x}`
Возьмем `\lambda_0 = 1`. Тогда
`y = C_1 * e^{sqrt(1 + \lambda_1)*x} + C_2 * e^{-sqrt(1 + \lambda_1)*x}`
Подставляем в наши условия
`y(0) = C_1 + C_2 = 0`
`y(1) = C_1 * e^{sqrt(1 + \lambda_1)} + C_2 * e^{-sqrt(1 + \lambda_1)} = 0`
Тут, кроме тривиального решения, больше я не вижу решений. Однако `y \neq 0`. Значит надо подобрать другое значение `\lambda_0`? Или в условиях косяк какой-то?

@темы: Уравнения мат. физики

Комментарии
2017-05-31 в 19:55 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Тут, кроме тривиального решения, больше я не вижу решений.
если `1 + \lambda_1 < 0`, то решением будут синус и косинус...

2017-06-05 в 14:10 

IWannaBeTheVeryBest
Простите, что меня давно не было...
С этим я разобрался, спасибо)). Только я не понял там дальше еще.
Там на странице 24 функция под интегралом `x * e^(-t)`
На странице 25, после написания уравнения Эйлера, получилось
`h'' + h + \mu = 0`
Там эта сумма
`sum_{i = 1}^{n} \mu_i * g_i`
`g_i = -d/(dt) * (f_i)_(x')(t) + f_i_x(t)`
Ведь производная `(x * e^(-t))_{x'} = 0` и `(x * e^(-t))_{x} = e^(-t)`
По идее должно же быть `h'' + h + \mu * e^{-t} = 0`?

2017-06-05 в 18:00 

IWannaBeTheVeryBest
Даже так должно быть
`-h'' + h + \mu * e^{-t} = 0`

2017-06-05 в 20:49 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Даже так должно быть
ну, в формуле (3.5) так и написано... в чём вопрос?... :upset:

2017-06-05 в 20:55 

IWannaBeTheVeryBest
Я про уравнение Якоби, пункт 2.2, страница 25))

2017-06-05 в 21:14 

IWannaBeTheVeryBest
К слову, заметил, что уравнение Эйлера и уравнение Якоби, ну по крайней мере в моих вариантах задач, постоянно совпадали.

2017-06-05 в 21:29 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Я про уравнение Якоби, пункт 2.2, страница 25))
:nope: ...

2017-06-05 в 21:36 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Ну там написано уравнение `h'' + h + \mu = 0`. А оно неверное, ну как по мне. Там должно быть `-h'' + h + \mu * e^(-t) = 0`. Или я неправ?

2017-06-05 в 21:49 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Там должно быть `-h'' + h + \mu * e^(-t) = 0`. Или я неправ?
видимо правы...

2017-06-06 в 12:40 

IWannaBeTheVeryBest
Блин. И вот фиг знает теперь. Или это составители неверно написали уравнение Якоби в конкретном примере, или там неверно указан общий вид уравнения Якоби. Ну вроде они уравнение Якоби несколько раз писали в общем виде... Наверное уравнение Якоби в общем виде верно записано.

2017-06-06 в 14:07 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Или это составители неверно написали уравнение Якоби в конкретном примере,
посмотрите в каком-нибудь другом пособии... может понятнее станет, что и откуда берётся...

там же ещё бывают приколы, что какие-то выражения рассматриваются на решении... (в одном из предыдущих топиков такое у Вас было)...
я уже подробности помню слабо... а вчитываться пока не сильно хочется... :pom:

2017-06-06 в 14:23 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Похоже они там в решении косячат жестко. Однородное уравнение, которое у них идет дальше по их решению
`h'' + h = 0`
на самом деле имеет решение
`h = C_1 cos(x) + C_2 sin(x)`
А у них в решении экспоненты, что соответствует как раз уравнению
`-h'' + h = 0`
Так что думаю, что уравнение Якоби у них верно записано. А вот сами решения небрежно написаны.
Ладно. Я уже почти дорешал. Все равно спасибо за помощь))

2017-06-06 в 14:31 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
А у них в решении экспоненты
ну, и однородное уравнение с экспонентой в частном решении... видимо, правда, опечатались в уравнении...

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная