Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
20:21 

Вариационное исчисление. Двойной интеграл. Экстремум функционала

IWannaBeTheVeryBest
Вот задачка такая
"Найти экстремум функционала
`iint_{\Omega} (\nabla u)^2 dS`; `\Omega = {(r, \phi): 2<= r <= 3}`; `u|_{r = 2} = 4sin(3\phi)`; `u|_{r = 3} = 4cos(2\phi)`"
Вообще есть какие-то идеи для такого случая? В случае одного интеграла я представляю как решается. Надо составлять уравнение Эйлера. Для этого случая вроде тоже знаю, как запишется уравнение Эйлера, но тут как-то странно, даже не знаю. Интеграл по области. Сама область лежит в плоскости. Значит можно предположить, что это все же двойной интеграл. `\nabla u = u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3)`. Дальше формула Эйлера
`F_u - (u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3))_x - (u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3))_y - (u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3))_z = 0`
Вообще пока я не могу понять. Как то же тут можно перейти к двойному интегралу? Ну типа по переменным `r; \phi`?

@темы: Уравнения мат. физики

Комментарии
2017-05-30 в 19:06 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Гость, я думала после расписывания квадрата получатся вторые производные
как верно отметил IWannaBeTheVeryBest, здесь квадрат вектора, а не квадрат оператора...

IWannaBeTheVeryBest, Если бы \nabla^2 u = \Delta u, то да.
вообще-то не так... лапласиан равен дивергенции от градиента...
а градиент от градиента - это не совсем корректно... поскольку градиент вычисляется от скалярной функции...

2017-05-30 в 19:19 

IWannaBeTheVeryBest
Гость, Ну дальше надо интегрировать. Я выше написал двойной интеграл. Пределы интегрирования - константы, вроде как. Подынтегральная функция довольно простая, но я наверное не буду интегрировать. Ну я просто преподавателю принесу. Если попросит проинтегрировать - я сделаю. Просто у меня константы очень страшные и все это не пропустить еще надо умудриться.
All_ex, Я смотрел по википедии... Там так. Ну может тут не совсем верное описание.

2017-05-30 в 19:26 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
аааа... ну, тут опять же стоит вектор в квадрате - то есть скалярное произведение вектора на себя (где с дифференциалами поступают достаточно формально)...
я же имел ввиду применение оператора к образу градиента... в общем ... :bricks:

2017-05-31 в 14:59 

я просто не поняла для чего интегрировать? я думала нужно решить дефуру, которая получилась в итоге: (U_r)^2+r*U_rr+U_ff/r=0 ну или умножить это все на r, если можно. и кстати как ее решить,я тоже пока не знаю. если мои мысли ошибочны, объясните как правильно делать

URL
2017-05-31 в 15:02 

дЕфуру.. я дно((

URL
2017-05-31 в 15:16 

IWannaBeTheVeryBest
Гость, Интегрируется для того, чтобы определить само значение, которое получается на нашей функции, на которой достигается минимум. То есть экстремум.
Ну, насколько я понял, если провести аналогию с какой-нибудь функцией `f(x)`, то мы знаем, что ее экстремум достигается в какой-то точке `x_0` - точке экстремума, где значение функции в этой точке `y(x_0) = y_0` "экстремальное" (минимальное или максимальное на множестве `X`). `y_0` получается банальной подстановкой `x_0` в саму функцию. То есть у нас есть функция и нам нужно найти такой аргумент, при котором эта самая функция будет минимальной или максимальной.
В данном случае нам дан функционал, аргументом у которого выступает функция, если так можно сказать. Мы нашли функцию, на которой интеграл (функционал) будет принимать минимальное значение. А чтобы это значение вычислить, то есть вычислить экстремум функционала, нам нужно проинтегрировать найденную функцию.

2017-05-31 в 15:37 

я понимаю о чем ты говоришь. но ты ведь не нашел еще саму фкц u(r,fi) c которой и нужно считать интеграл. в общем либо ты пропускаешь один шаг. либо я чего то не понимаю. ты решил саму дифуру?

URL
2017-05-31 в 15:54 

IWannaBeTheVeryBest
Гость, Я нашел функцию `u(r, \phi) = (36/65 * r^2 - 576/(65 * r^2)) cos(2\phi) + (-32/665 * r^3 + 23328/(665 * r^3)) sin(3\phi)`
Оператор набла действует в полярных координатах так
`(\nabla u)^2 = (u_r)^2 + 1/r^2 * (u_\phi)^2` - это если сразу возводить в квадрат.
Тут надо просто найти частные производные по r и phi функции u.
`dS = dxdy = rdrd\phi`
Все. Сам двойной интеграл я писал выше. Могу еще раз написать
`int_{0}^{2pi} d\phi int_{2}^{3} r * (\nabla u)^2 dr`

2017-05-31 в 15:59 

IWannaBeTheVeryBest
Аа ну я походу врубился о чем ты. Да, сам диффур я считал. Кстати говоря это написано выше. Просто не охота рассказывать полностью весь путь - долго. Тут же все описано уже. Единственное что могу сказать - можешь посмотреть задачу Дирихле для уравнения Лапласа. Она бывает 3 видов, если не ошибаюсь. В кольце, в круге и во внешности круга.

2017-05-31 в 16:01 

нет, не нужно. спасибо.я что то так уперлась в это уравнение,что совсем забыла, что ты уже расписывал U как решение в кольце. прости мою невнимательность(

URL
2017-05-31 в 16:06 

IWannaBeTheVeryBest
Гость, Бывает))
Оффтоп...
Очень советую установить скрипт отсюда: pay.diary.ru/~eek/p103173149.htm
Чтобы видеть формулы нормально.

2017-05-31 в 16:16 

У меня же получается задача
`{(\Delta u = 0), (u|_{r = 2} = 4sin(3\phi)), (u|_{r = 3} = 4cos(2\phi)) :}`

последний вопрос. откуда следует твой вывод? интересно как ты пришел к (\Delta u = 0)

URL
2017-05-31 в 16:30 

IWannaBeTheVeryBest
Гость, Я расписал уравнение Эйлера для данного случая:
`(\nabla u)^2 = (u_x)^2 + (u_y)^2`; Дальше составил уже уравнение Эйлера по формуле, которая написана в этом учебнике
www.twirpx.com/file/17832/
на странице 22. Формула (21). Там во втором слагаемом вроде опечатка еще. Должно быть F_p, а не F_d. Короче частная производная там должна быть по p а не по d.
Параграф начинается со страницы 20. Там вывод этой формулы дан. Также написано, что такое p и q.

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная