Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
20:21 

Вариационное исчисление. Двойной интеграл. Экстремум функционала

IWannaBeTheVeryBest
Вот задачка такая
"Найти экстремум функционала
`iint_{\Omega} (\nabla u)^2 dS`; `\Omega = {(r, \phi): 2<= r <= 3}`; `u|_{r = 2} = 4sin(3\phi)`; `u|_{r = 3} = 4cos(2\phi)`"
Вообще есть какие-то идеи для такого случая? В случае одного интеграла я представляю как решается. Надо составлять уравнение Эйлера. Для этого случая вроде тоже знаю, как запишется уравнение Эйлера, но тут как-то странно, даже не знаю. Интеграл по области. Сама область лежит в плоскости. Значит можно предположить, что это все же двойной интеграл. `\nabla u = u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3)`. Дальше формула Эйлера
`F_u - (u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3))_x - (u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3))_y - (u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3))_z = 0`
Вообще пока я не могу понять. Как то же тут можно перейти к двойному интегралу? Ну типа по переменным `r; \phi`?

@темы: Уравнения мат. физики

Комментарии
2017-05-28 в 21:48 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Это конечно же двойной интеграл... следовательно, функция `u` зависит от двух переменных... (то есть никакого зет тут не будет)...

Во-вторых, вектор в квадрате - это длина в квадрате... то есть у Вас интегрируется скалярная функция...

Остальное можно посмотреть в книге Смирнов В.И., Крылов В.И., Канторович Л.В. Вариационное исчисление на стр. 20-23...

2017-05-28 в 22:07 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Получается в данном случае, мы можем заменить `dS` на `dr d\phi`?
И еще. Если я уже считаю производную по `x` и `y`, то мне тогда лучше перейти от полярных в декартовы координаты? Или можно просто искать производные по `r;\phi`? правда тут я уже не очень силен, так как такую задачу решал с одним интегралом только в декартовых координатах.

2017-05-28 в 22:22 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Получается в данном случае, мы можем заменить `dS` на `dr d\phi`?
забыли про якобиан... `dS = dx*dy = r*dr*d\varphi` ...

Вообще я думаю, что нет необходимость рассматривать интеграл в полярных координатах... это можно будет сделать когда будете решать краевую задачу для уравнения Лапласа...

2017-05-29 в 11:06 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Так, получается, что `(\nabla u)^2 = u_x^2 + u_y^2`
Дальше, выписывая уравнения Эйлера для моего случая, оно переходит в уравнение Лапласа
`u_{xx} + u_{yy} = 0`
Меня вообще смущает постоянно то, что в условии задачи даны полярные координаты. Как бы получается, что функция u при подстановке r = 2 будет равна `4sin(3\phi)`. Получается, что `u = u(r, \phi)`, а не `u = u(x,y)`. Ну или можно переписать уравнение Лапласа в полярных координатах.

2017-05-29 в 12:29 

IWannaBeTheVeryBest
У меня же получается задача
`{(\Delta u = 0), (u|_{r = 2} = 4sin(3\phi)), (u|_{r = 3} = 4cos(2\phi)) :}`
Решая ее, я получу некоторую функцию. Так получается эта функция будет решением исходной задачи?

2017-05-29 в 13:33 

IWannaBeTheVeryBest
`(\nabla u)^2 = u_{x x} + u_{yy}`, это если учитывать, что базис ортонормированный конечно же. Тогда и квадрат длины вектора будет равен 1. Или лучше все же писать с векторами `u_{x x} * |e_1|^2 + u_{yy} * |e_2|^2 + 2u_{x x} * u_{yy} * e_1 * e_2`?

2017-05-29 в 14:00 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
это если учитывать, что базис ортонормированный конечно же
О каком базисе речь?... зачем?...

У меня же получается задача
Ну, это задача Дирихле в кольце для уравнения Лапласа... вот её и решайте...
можно перейти к полярным координатам ... и решать разделением переменных....

2017-05-29 в 14:08 

IWannaBeTheVeryBest
О каком базисе речь?...
Это я не до конца прочитал про оператор Набла. Эти вектора `e_1`; `e_2` - единичные вектора по осям икс и игрек. Тогда действительно у нас получается
`u_{x x} + u_{yy} = 0`
Окей, ща буду решать.

2017-05-29 в 14:59 

IWannaBeTheVeryBest
Если я верно понимаю, то решается так.
В первую очередь, ответ в кольце ищется следующим образом
`u(r, \phi) = a_0 + b_0*lnr + sum_{n = 1}^{\infty} (a_n * r^n + c_n/(r^n)) * cos(n\phi) + (b_n * r^n + d_n/(r^n)) * sin(n\phi)`
В нашем случае, искать решение следует в виде
`u(r, \phi) = a_0 + b_0*lnr + sum_{n = 1}^{3} (a_n * r^n + c_n/(r^n)) * cos(n\phi) + (b_n * r^n + d_n/(r^n)) * sin(n\phi)`
Дальше подставляем это уравнение в граничные условия
`u(2, \phi) = a_0 + b_0*ln2 + sum_{n = 1}^{3} (a_n * 2^n + c_n/(2^n)) * cos(n\phi) + (b_n * 2^n + d_n/(2^n)) * sin(n\phi) = 4sin(3\phi)`
`u(3, \phi) = a_0 + b_0*ln3 + sum_{n = 1}^{3} (a_n * 3^n + c_n/(3^n)) * cos(n\phi) + (b_n * 3^n + d_n/(3^n)) * sin(n\phi) = 4cos(2\phi)`
Ищем коэффициенты, решая, в данном случае, две системы
`sin(3\phi):`
`{(b_3 * 8 + d_3/8 = 4), (b_3 * 27 + d_3/27 = 0):}`
и
`cos(2\phi):`
`{(a_2 * 4 + c_2/4 = 0), (a_2 * 9 + c_2/9 = 4):}`
В итоге получились корни
`{(a_2 = 36/65), (c_2 = -576/65), (b_3 = -32/665), (d_3 = 23328/665):}`
Остальные коэффициенты - нули.
В итоге `u = (36/65 * r^2 - 576/(65 * r^2)) cos(2\phi) + (-32/665 * r^3 + 23328/(665 * r^3)) sin(3\phi)`
Так?

2017-05-29 в 15:03 

IWannaBeTheVeryBest
Наошибался миллион раз, пока записывал сюда, сорри))

2017-05-29 в 15:45 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
всё может быть... :alles: ... уж простите, вычисления не проверял...

2017-05-29 в 15:49 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Да вычисления то ладно. Я просто не понял. В задаче сказано найти экстремум функционала. Это и есть в данном случае функция?

2017-05-29 в 17:09 

IWannaBeTheVeryBest
Если судить по книге, то мы искали поверхность, для которой значение исходного интеграла минимально. Ну вроде оно и есть.

2017-05-29 в 17:19 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
В задаче сказано найти экстремум функционала
Вы нашли функцию, на которой минимум должен достигаться... сам минимум придётся считать руками...

2017-05-29 в 17:36 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Если решать по аналогии с одномерным случаем, то, как я понял, нам надо эту функцию как раз подставить в интеграл и вычислить. Хотя, с другой стороны, подынтегральное выражение у нас `u_{x x} + u_{yy}`. Ну то есть не получится ли так, что эта функция просто обнулит наш интеграл?

2017-05-29 в 17:58 

IWannaBeTheVeryBest
Ну я не в плане, что наша функция зависит от других аргументов. Если мы переведем `u` в декартовы координаты, она же должна будет обнулить интеграл, как я понимаю. Ну раз удовлетворяет уравнению `u_{x x} + u_{yy} = 0`

2017-05-29 в 20:09 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Хотя, с другой стороны, подынтегральное выражение у нас `u_{x x} + u_{yy}`
нет не оно... там интеграл от квадрата длины градиента ...

она же должна будет обнулить интеграл
чего это вдруг интеграл от положительной функции будет равен нулю?... :upset:

2017-05-29 в 21:11 

IWannaBeTheVeryBest
Да, я тупанул. Мы же уравнение Лапласа позже получили.
Получается там будет повторный интеграл. Буду решать в полярных координатах. `2 <= r <= 3`. Вот угол только не написано как изменяется. Можно ли писать, что он меняется от 0 до 2pi если он никак не ограничен? Просто всяко может быть.

2017-05-30 в 17:05 

IWannaBeTheVeryBest
Ух, что-то мне не хочется интегрировать это в декартовых координатах.
Я так понимаю надо посмотреть, как действует оператор набла в полярных координатах?

2017-05-30 в 17:09 

IWannaBeTheVeryBest
Аа в общем-то нашел, как действует))

2017-05-30 в 17:25 

IWannaBeTheVeryBest
А вообще, я правильно понимаю, что надо посчитать
`int_{0}^{2pi} d\phi int_{2}^{3} (\nabla u(r, \phi))^2 dr`
?

2017-05-30 в 17:56 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Ух, что-то мне не хочется интегрировать это в декартовых координатах.
так интегрируйте в полярных...

А вообще, я правильно понимаю, что надо посчитать
типа того...

2017-05-30 в 17:59 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Хорошо, спасибо))

2017-05-30 в 18:23 

пытаюсь решить аналогичный номер. не могу разобраться с принципом действий при наличии двойного интеграла. если все расписать получается: ds=r*dr*dfi. а под интегралом (\nabla u(r,fi))^2 =r^2 u_{r r} + r u_{r}+u_{fi fi}).

URL
2017-05-30 в 18:31 

IWannaBeTheVeryBest
Насколько я понял, оператор набла действует так
`\nabla u = u_r * \vec e_r + 1/r u_{phi} * \vec e_{phi}`
Вот тут вроде как написано вначале
www.iatephysics.narod.ru/lecture3/nabla.htm
`(u_r * \vec e_r + 1/r u_{phi} * \vec e_{phi})^2 = (u_r)^2 + 1/r^2 * (u_{phi})^2`
Или я что-то не так понимаю?
----------
Гость, а ты из какого универа?

2017-05-30 в 18:37 

я из кфу, но это не мне нужно. подруга спросила как делать и я чего то залипла. а ты из какого? это что домашки такие у вас?

URL
2017-05-30 в 18:43 

IWannaBeTheVeryBest
Гость, Типовые расчеты. Не думал, что такие задачи еще где-то будут. Ну ладно)) Я из СПб ГУ ИТМО.

2017-05-30 в 18:51 

я думала после расписывания квадрата получатся вторые производные,а не квадраты первых. ну типа лапласиан все дела

URL
2017-05-30 в 19:00 

IWannaBeTheVeryBest
Ну как бы если в декартовых координатах, то
`(\nabla u)^2 = (u_x * \vec e_x + u_y * \vec e_y)^2 = (u_x * \vec e_x)^2 + (u_y * \vec e_y)^2 + 2(u_x * \vec e_x)(u_y * \vec e_y) = (u_x)^2 + (u_y)^2`
Там вроде не должны получаться двойные производные. Если бы
`\nabla^2 u = \Delta u`, то да.
Хотя All_ex тут больше знает)) Ну я думаю, что я все вроде как логично представил.

2017-05-30 в 19:05 

да, думаю ты прав. вот мы расписали такие.и что теперь делать? можешь накидать алгоритм действий?

URL
2017-05-30 в 19:06 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Гость, я думала после расписывания квадрата получатся вторые производные
как верно отметил IWannaBeTheVeryBest, здесь квадрат вектора, а не квадрат оператора...

IWannaBeTheVeryBest, Если бы \nabla^2 u = \Delta u, то да.
вообще-то не так... лапласиан равен дивергенции от градиента...
а градиент от градиента - это не совсем корректно... поскольку градиент вычисляется от скалярной функции...

2017-05-30 в 19:19 

IWannaBeTheVeryBest
Гость, Ну дальше надо интегрировать. Я выше написал двойной интеграл. Пределы интегрирования - константы, вроде как. Подынтегральная функция довольно простая, но я наверное не буду интегрировать. Ну я просто преподавателю принесу. Если попросит проинтегрировать - я сделаю. Просто у меня константы очень страшные и все это не пропустить еще надо умудриться.
All_ex, Я смотрел по википедии... Там так. Ну может тут не совсем верное описание.

2017-05-30 в 19:26 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
аааа... ну, тут опять же стоит вектор в квадрате - то есть скалярное произведение вектора на себя (где с дифференциалами поступают достаточно формально)...
я же имел ввиду применение оператора к образу градиента... в общем ... :bricks:

2017-05-31 в 14:59 

я просто не поняла для чего интегрировать? я думала нужно решить дефуру, которая получилась в итоге: (U_r)^2+r*U_rr+U_ff/r=0 ну или умножить это все на r, если можно. и кстати как ее решить,я тоже пока не знаю. если мои мысли ошибочны, объясните как правильно делать

URL
2017-05-31 в 15:02 

дЕфуру.. я дно((

URL
2017-05-31 в 15:16 

IWannaBeTheVeryBest
Гость, Интегрируется для того, чтобы определить само значение, которое получается на нашей функции, на которой достигается минимум. То есть экстремум.
Ну, насколько я понял, если провести аналогию с какой-нибудь функцией `f(x)`, то мы знаем, что ее экстремум достигается в какой-то точке `x_0` - точке экстремума, где значение функции в этой точке `y(x_0) = y_0` "экстремальное" (минимальное или максимальное на множестве `X`). `y_0` получается банальной подстановкой `x_0` в саму функцию. То есть у нас есть функция и нам нужно найти такой аргумент, при котором эта самая функция будет минимальной или максимальной.
В данном случае нам дан функционал, аргументом у которого выступает функция, если так можно сказать. Мы нашли функцию, на которой интеграл (функционал) будет принимать минимальное значение. А чтобы это значение вычислить, то есть вычислить экстремум функционала, нам нужно проинтегрировать найденную функцию.

2017-05-31 в 15:37 

я понимаю о чем ты говоришь. но ты ведь не нашел еще саму фкц u(r,fi) c которой и нужно считать интеграл. в общем либо ты пропускаешь один шаг. либо я чего то не понимаю. ты решил саму дифуру?

URL
2017-05-31 в 15:54 

IWannaBeTheVeryBest
Гость, Я нашел функцию `u(r, \phi) = (36/65 * r^2 - 576/(65 * r^2)) cos(2\phi) + (-32/665 * r^3 + 23328/(665 * r^3)) sin(3\phi)`
Оператор набла действует в полярных координатах так
`(\nabla u)^2 = (u_r)^2 + 1/r^2 * (u_\phi)^2` - это если сразу возводить в квадрат.
Тут надо просто найти частные производные по r и phi функции u.
`dS = dxdy = rdrd\phi`
Все. Сам двойной интеграл я писал выше. Могу еще раз написать
`int_{0}^{2pi} d\phi int_{2}^{3} r * (\nabla u)^2 dr`

2017-05-31 в 15:59 

IWannaBeTheVeryBest
Аа ну я походу врубился о чем ты. Да, сам диффур я считал. Кстати говоря это написано выше. Просто не охота рассказывать полностью весь путь - долго. Тут же все описано уже. Единственное что могу сказать - можешь посмотреть задачу Дирихле для уравнения Лапласа. Она бывает 3 видов, если не ошибаюсь. В кольце, в круге и во внешности круга.

2017-05-31 в 16:01 

нет, не нужно. спасибо.я что то так уперлась в это уравнение,что совсем забыла, что ты уже расписывал U как решение в кольце. прости мою невнимательность(

URL
2017-05-31 в 16:06 

IWannaBeTheVeryBest
Гость, Бывает))
Оффтоп...
Очень советую установить скрипт отсюда: pay.diary.ru/~eek/p103173149.htm
Чтобы видеть формулы нормально.

2017-05-31 в 16:16 

У меня же получается задача
`{(\Delta u = 0), (u|_{r = 2} = 4sin(3\phi)), (u|_{r = 3} = 4cos(2\phi)) :}`

последний вопрос. откуда следует твой вывод? интересно как ты пришел к (\Delta u = 0)

URL
2017-05-31 в 16:30 

IWannaBeTheVeryBest
Гость, Я расписал уравнение Эйлера для данного случая:
`(\nabla u)^2 = (u_x)^2 + (u_y)^2`; Дальше составил уже уравнение Эйлера по формуле, которая написана в этом учебнике
www.twirpx.com/file/17832/
на странице 22. Формула (21). Там во втором слагаемом вроде опечатка еще. Должно быть F_p, а не F_d. Короче частная производная там должна быть по p а не по d.
Параграф начинается со страницы 20. Там вывод этой формулы дан. Также написано, что такое p и q.

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная