Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
20:44 

Функциональный анализ

Пусть `A: L_2[0,1] rightarrow L_2[0,1]` - ограниченный оператор, причем `I m A subset C[0,1]`. Доказать, что `A` компактен.

Имеется указание воспользоваться следующим утверждением:
Если банахово пространство `X` рефлексивно, а сопряженное пространство к`X` - сепарабельно, то из любой последовательности точек единичного шара `{x: ||x||_X<=1}` можно выбрать подпоследовательность, слабо сходящуюся к точке единичного шара.

Что навеяло это указание: необходимо подействовать оператором на единичный шар из `L_2[0,1]` и доказать, что образ предкомпактен. Отсюда будем иметь компактность оператора.
Критерий предкомпактности множества в `L_2[0,1]`: множество `M` предкомпактно тогда и только тогда, когда `forall varepsilon>0 exists delta > 0: forall x in M, h in [0, delta]` выполняется `(int_0^(1-h)(x(t+h)-x(t))^2 dt)^(1/2) < varepsilon`.
Но вот что делать дальше? Кроме того, что образ лежит в шаре радиуса `||A||`, у меня сказать больше ничего не получается...
Непрерывность образов это хорошо, но вот как доказать, что для всех найдется такое ненулевое `delta`? Была идея рассмотреть какой-нибудь базис, но ни к чему конкретному она не привела.

Надеюсь на помощь.

@темы: Функциональный анализ

Комментарии
2017-05-27 в 21:05 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
причем `I m A subset C[0,1]` - это образ оператора?...
Наличие пространство непрерывных функций наводит на мысль о применении леммы Арцела... :upset:

2017-05-27 в 23:08 

All_ex, да, под Im я имел в виду именно образ оператора.
Лемма Арцела как раз говорит о предкомпактности множества в пространстве непрерывных функций.
Причем эта предкомпактность эквивалента равностепенной непрерывности (ну и плюс ограниченности, конечно же).
И получается замкнутый круг)

2017-05-28 в 14:36 

Компактность оператора также эквивалента тому, что из любой ограниченной последовательности можно выбрать подпоследовательность, к чему-то сходящуюся, т.е. для любой огр. `{x_n}_1^infty subset L_2[0,1] exists A x_(n_k) rightarrow`
Понятно, что можно брать любую последовательность из шара.
Тогда по указанию существует подпоследовательность, слабо сходящаяся к чему-то.
После отображения она также будет к чему-то слабо сходиться.
Возможно из этого + непрерывности образа можно получить обычную сходимость?
Но выглядит как-то неправдоподобно..

2017-05-29 в 02:06 

Доказательство:
Положим `B_1 := {x : x in L_2[0,1],||x||<=1}`. Рассмотрим произвольную последовательность `{x_(alpha)} subset B_1`. По приведенному выше утверждению можно выбрать подпоследовательность `{x_n}_1^infty`, слабо сходящуюся к некоторому `x in B_1`.
Докажем, что `Ax_n rightarrow Ax`.
Во-первых, покажем, что `A` является ограниченным оператором из `L_2[0,1]` в `C[0,1]`.
Рассмотрим график оператора `Gamma (A) = {(x, Ax): x in L_2[0,1]}`. Докажем, что этот график замкнут, т.е. что из `x_n rightarrow x`, `Ax_n rightarrow y` следует, что `y=Ax`. От противного: пусть не так, следовательно, `exists t_0 in [0,1]` такая, что `max_(t in [0,1]) |y - Ax| = |(y - Ax)(t_0)| = varepsilon >0`. Тогда в силу непрерывности функций `exists delta > 0` такое, что `|(y - Ax)(t)| = varepsilon/2 >0 quad forall t in U:=[t_0-delta,t_0+delta]`. Отсюда:
`int_0^1|(y - Ax)(t)|^2 dt >= int_(t_0 - delta)^(t_0 + delta) varepsilon^2 /4 dt = (delta varepsilon^2)/2 > 0`
Но `int_0^1|(y - Ax)(t)|^2 dt = ||y - Ax||_(L_2) = ||Ax_n - Ax||_(L_2) <= ||A|| * ||x_n - x||_(L_2) rightarrow 0`. Противоречие.
Отсюда `A` является ограниченным оператором из `L_2[0,1]` в `C[0,1]`.
Теперь рассмотрим
`int_0^1((Ax_n)(t)-(Ax)(t))^2 dt <= max_(t in [0,1])|(Ax_n)(t)-(Ax)(t)|*int_0^1|(Ax_n)(t)-(Ax)(t)| dt`
В силу ограниченности оператора в `C[0,1]` имеем `max_(t in [0,1])|(Ax_n)(t)-(Ax)(t)| <= ||A||_C * ||x_n - x||_(L_2) <= 2 * ||A_C|| < infty`.
А `int_0^1|(Ax_n)(t)-(Ax)(t)| dt rightarrow 0` в силу слабой сходимости.
Отсюда `||Ax - Ax_n|| rightarrow 0, n rightarrow infty`, т.е. для произвольной ограниченной последовательности нашли сходящуюся подпоследовательность образов.
Из этого немедленно вытекает, что оператор `A` компактен.

2017-05-29 в 14:06 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
вроде всё логично...
правда, я не помню почему из замкнутости графика следует ограниченность оператора... :nope:

2017-05-29 в 14:23 

Нет, не все логично, в моем доказательстве косяк:
Нет стремления интеграла от `|(Ax_n)(t) - (Ax)(t)|` к нулю - тут для каждого `n` свой функционал.
Поэтому надо рассуждать так: т.к. `A` ограничен как оператор в `C[0,1]`, то `Ax_n` слабо сходится к `Ax` в `C[0,1]`.
Из критерия слабой сходимости имеем:
1) `exists C>0: ||Ax_n||_(C[0,1])<C forall n`;
2) имеется поточечная сходимость.
Тогда применим теорему Лебега: `((Ax)(t)-(Ax_n)(t))^2` сходится к `0` поточечно. Также имеем ограниченность константой `4C^2`, которая, разумеется, интегрируема на отрезке. Отсюда `||Ax-Ax_n|| rightarrow 0`.
Вот тут уже без косяков)

Насчет Теоремы о замкнутом графике.. Сам я ее не доказывал, и доказательства не видел.
Замкнутость графика = банаховость `Gamma (A)` в своей норме (сумма норм образа и прообраза).
И тогда надо применять Теорему Банаха об обратном операторе.
Причем эти два утверждения равносильны (задачку такую нашел).

2017-05-29 в 17:24 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Нет стремления интеграла от `|(Ax_n)(t) - (Ax)(t)|` к нулю - тут для каждого `n` свой функционал.
это видимо из-за нелинейности... :upset:
мдя... хорошенько подзабылся этот материал... :weep3:

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная