21:17 

Вариационное исчисление. Экстремум функционала

IWannaBeTheVeryBest
Задача такая
`int_{0}^{1} (y')^3 dx -> inf`
`{(y(0) = 0), (y(1) = 1):}`
Эта задача разбирается в учебнике. Я добрался до условия Якоби. Для того, чтобы его проверить, надо выписать уравнение Якоби для данного случая. Но почему-то я всюду нахожу разные уравнения. В задачнике, где я разбираю эту задачу дано такое
`-d/dx(f_{y'y'}(x) * h'(x) + f_{y'y}(x) * h(x)) + f_{yy'}(x) * h'(x) + f_{yy}(x) * h(x) = 0`
В другом месте дано уравнение
`(f_{yy} - d/dx f_{yy'}) * h(x) - d/dx(f_{y'y'}*h'(x)) = 0`
Но что больше всего выносит мозг - это то, что уравнение Якоби в задачнике выписано для этого случая так
`-d/dx 6 * h'(x) = 0`
С решением
`h(x) = C_1 * x + C_2`
Вот и мне не ясно, какое из уравнений верное, так как очевидно, что в первом из них 4 слагаемых, а в другом - 3. К тому же, с какой стати уравнение Якоби тут
`-d/dx 6 * h'(x) = 0`?
Двойная производная по `y'` функции `(y')^3` будет равна `6y'` и уравнение Якоби должно выглядеть так
`-d/dx 6y' * h'(x) = 0`

@темы: Уравнения мат. физики

Комментарии
2017-05-19 в 22:02 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
В задачнике, где я разбираю эту задачу дано такое ... В другом месте дано уравнение
Вроде одно и тоже... просто перегруппировано...

2017-05-19 в 22:08 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
В задачнике, где я разбираю эту задачу
что за книжка?...

2017-05-19 в 22:10 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Может я что-то не вижу... Ну если скобки раскрыть там и там, то в первом случае будет 4 слагаемых, а во втором - 3. Как из второго уравнения получить слагаемое
`f_{yy'} * h'`
что за книжка?...
Вот тут
kpfu.ru/docs/F1589821731/metod_report.pdf
Страница 7 - уравнение Якоби.
Страница 10 - начало примера.
Ну я перевел из `x(t)` в привычное `y(x)`.

2017-05-19 в 22:18 

IWannaBeTheVeryBest
Честно говоря, надо было учесть эти "крышечки" над функциями... Ну или хотя бы писать `F`, а не `f`. Ну это формальность.

2017-05-19 в 22:19 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Может я что-то не вижу... - может быть ... :nope:

`-d/dx(f_{y'y'}(x) * h'(x) + f_{y'y}(x) * h(x)) + f_{yy'}(x) * h'(x) + f_{yy}(x) * h(x) = 0`

Вычисляем производную первой скобки...

`-d/dx(f_{y'y'}(x) * h'(x)) - d/dx (f_{y'y}(x)) * h(x) - f_{yy'}(x) * h'(x) + f_{yy'}(x) * h'(x) + f_{yy}(x) * h(x) = 0`

сокращаем третье и четвёртое слагаемое ...

`-d/dx(f_{y'y'}(x) * h'(x)) - d/dx (f_{y'y}(x)) * h(x) + f_{yy}(x) * h(x) = 0`

остаётся переставить слагаемые и вынести `h` за скобки ...

`(f_{yy} - d/dx f_{yy'}) * h(x) - d/dx(f_{y'y'}*h'(x)) = 0`

вроде так...

2017-05-19 в 22:24 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Двойная производная по `y'` функции `(y')^3` будет равна `6y'` и уравнение Якоби должно выглядеть так `-d/dx 6y' * h'(x) = 0`
Если Вы прочитаете алгоритм решения на странице 8, то в пункте 2.2 сказано, что уравнение Якоби выписывают на экстремали... её нашли в начале решения `y' = const` ...

2017-05-19 в 22:35 

IWannaBeTheVeryBest
её нашли в начале решения
Даа точно. Просмотрел. Тогда тут все понял, спасибо))

2017-05-19 в 22:37 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome ...

2017-05-27 в 13:57 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Простите, что с таким опозданием еще раз беспокою. Там (kpfu.ru/docs/F1589821731/metod_report.pdf) на странице 9 говорится про условие сильного минимума
"Если интегрант `f` является выпуклым для любых фиксированных `t` и `x`..."
Выпуклая функция понимается как обычно? "Выпуклая функция — функция, у которой надграфик является выпуклым множеством." (википедия). Просто вдруг тут какой-то другой смысл...

2017-05-27 в 13:59 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, меня просто смутило то, что там еще говорится про параметры. А как параметры могут повлиять на выпуклость функции в этом смысле? Если бы там, скажем, была степень 2, то хоть на что это все дело умножай, график же все равно будет выпуклым.

2017-05-27 в 15:09 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Выпуклая функция понимается как обычно?
поскольку печь про функцию, то всё как обычно...
хотя терминология "выпуклые/вогнутые" не устоялась до сих пор...

А как параметры могут повлиять на выпуклость функции в этом смысле?
Рассмотрите функцию `f = a*x^2`... при положительных значениях параметра она выпуклая, а при отрицательных - вогнутая...

2017-05-27 в 15:15 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Ну да. Правда там ничего про вогнутость не сказано. Поэтому я и подумал, что тут все равно достигается сильный экстремум. А поэтому как бы не вижу смысла говорить про параметры. Ну хотя если `a = 0`, то функция будет не выпуклой и не вогнутой, из-за чего придется проверять следующее условие.

2017-05-27 в 19:13 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Правда там ничего про вогнутость не сказано.
не забывайте, что когда ищут минимум, то выпуклость нужна... а при вогнутости получают максимум...

2017-05-27 в 20:14 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Да точно. Но наверное не может получиться так, что мы получили выполненное условие слабого локального минимума, а потом оказалось, что функция вогнутая.

2017-05-27 в 20:25 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
а потом оказалось, что функция вогнутая.
ну, она может быть не той и не другой...

2017-05-27 в 20:30 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Да вообще-то, согласен)) Ладно спасибо)

2017-05-27 в 20:36 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
и снова welcome ...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная