15:10 

Обобщенные функции

IWannaBeTheVeryBest
"Решить уравнение в обобщенных функциях
`(x - 1)(x - 2)y'' = P(1/x^2)`"
Вообще есть у кого какая литературка по этому? Находил лекции по обобщенным функциям, но проблема в том, что из лекций далеко не всегда понятно, как что-то решать. А примеров я тоже не нашел...

@темы: Дифференциальные уравнения, Уравнения мат. физики

Комментарии
2017-05-15 в 20:27 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Посмотрите тут вроде примеры есть......

2017-05-15 в 20:54 

IWannaBeTheVeryBest
Я там просто не нашел, что такое `P`. Там было только определение, что такое `P1/x`. Что-то типа
`\forall \phi \in D: (P1/x, \phi(x)) = v.p. int_{R} (\phi(x)dx)/x = lim_{\epsilon -> +0} int_{|x| > \epsilon} (\phi(x)dx)/x`
`P` - это типа функционал какой-то?

2017-05-15 в 21:19 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, как я понимаю, `P` говорит о том, что мы задаём линейный функционал, как интеграл в смысле главного значения

2017-05-15 в 21:25 

IWannaBeTheVeryBest
skifalan, Но блин, функционал он же должен принимать параметры в виде функций. А как с голым функционалом решать диффур? Или я не врубаюсь...

2017-05-15 в 21:55 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, я бы поступил следующим образом, сначала разделил бы на `(x-1)(x-2)` получил бы `y'' = P(1/x^2) * 1/((x-1)(x-2))` далее искал бы фундаментальное решение однородной части, т.е. `y'' = 0` для неё фундаментальное решение `E(x) = theta(x) y(x)`, где y(x) решение `y'' = 0`, а `theta(x)` - функция Хевисайда. Далее чтобы найти фундаментальное решение исходного уравнения взял бы свёртку `E(x) * (P(1/x^2) * 1/((x-1)(x-2)))`. Но советую дождаться более компетентного мнения. :)

2017-05-15 в 21:57 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, и видимо после деления, в один момент надо будет заменить дроби на `P(1/(x-1))` и `P(1/(x-2))`

2017-05-15 в 22:21 

IWannaBeTheVeryBest
уоу уоу, нифига сколько инфы :D ну мне вообще надо бы почитать про свертки и про все это)) Мне просто надо срочно, поэтому читать целый учебник, когда уже семестр заканчивается - не вариант. ну я прочту бегло хотя бы, чтобы хоть понимать вас. Вы видимо все-таки разбираетесь в этом. Ну хоть как-то в отличие от меня))

2017-05-15 в 22:30 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, не сказал бы, что я в этом хорошо разбираюсь. Меня самого беспокоит тот факт, что во Владимирове решение ищется так, как я записал, но встречаю в других источниках фундаментальное решение выглядит иначе `E(x,y) = theta(x-y)K(x,y)`

2017-05-19 в 14:05 

IWannaBeTheVeryBest
skifalan,
для неё фундаментальное решение...
А откуда данная информация взята? Ну хотя бы чтобы ознакомиться с тем, что тут вообще происходит))

2017-05-19 в 14:15 

IWannaBeTheVeryBest
И да, можно ли тут считать, что после деления на `(x - 1)(x - 2)` мы получаем
`y'' = (P1/x, 1/(x(x - 1)(x - 2)))`?

2017-05-19 в 14:59 

IWannaBeTheVeryBest
Появилась идея, может глупая. А нельзя обе части равенства изначально домножить на `x^2`? По свойству `P1/x`: `x^2P1/(x^2) = 1`. Дальше тупо решать
`x^4(x - 2)y'' = 1`
Или так нельзя?

2017-05-19 в 22:09 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Или так нельзя?, можно... а что это даст?...
Ведь проинтегрировать уравнение получится только если выразить вторую производную...

2017-05-19 в 22:16 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, после некоторой консультации пришёл к следующему выводу:
обзначим `y'' = f` получим следующее уравнение `(x-1)(x-2) f = P(1/x^2)`. Далее для того, чтобы получить `P(1/x^2)` предлагаю взять в качестве `f = P(1/(x^2*(x-1)*(x-2))) + c_1 delta(x-1) + c_2 delta(x-2)`, не знаю как строго объяснить почему надо брать именно в таком виде `f`, но если подставить её в уравнение можно убедиться, что получится верное равенство. Далее получаем (с учётом, что `f = y''`) следующее дифференциальное уравнение `y'' = P(1/(x^2*(x-1)*(x-2))) + c_1 delta(x-1) + c_2 delta(x-2)`, а вот его решение ищется, как я уже говорил раннее. Почитать об этом можно здесь math.nw.ru/~grikurov/Distributions.pdf , начиная со страницы 18

2017-05-19 в 22:17 

IWannaBeTheVeryBest
а что это даст?...
ну я же могу решить `y'' = 1/(x^4(x - 2))` довольно просто. Составляем хар-е ур-е и вперед, как говорится :) Хотя наверное можно и проинтегрировать последовательно 2 раза.

2017-05-19 в 22:25 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, разве после домножения не будет `x^2*(x-1)*(x-2) y'' = 1 `. Не очень понял, откуда появилась четвертая степень.

2017-05-19 в 22:28 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
IWannaBeTheVeryBest, ну я же могу решить
Красиво Вы, умножив и поделив на `x^2`, избавились от обобщённой функции в правой части... :alles:

2017-05-19 в 22:30 

IWannaBeTheVeryBest
skifalan, Да, простите. Я тут еще параллельно другой пример рассматриваю. Именно так. И нельзя просто поделить и получить
`y'' = 1/(x^2(x - 1)(x - 2))`
и решить?

2017-05-19 в 22:37 

IWannaBeTheVeryBest
Красиво Вы...
По этому комментарию я стал догадываться, что так делать нельзя :D Ну я подозревал. Тогда не было бы смысла вставлять все это в правую часть равенства в самой задаче.
Ладно, буду думать
не знаю как строго объяснить почему надо брать именно в таком виде
А может надо просто подбирать?)) Я был бы очень рад, но видимо надо разобраться, почему так

2017-05-19 в 22:48 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, я думаю, что так как вы сделали можно, но все равно надо будет рассмотреть регуляризацию дроби справа

2017-05-19 в 22:48 

IWannaBeTheVeryBest
В каком-то учебнике нашел:
`(\delta(x - a), \phi) = \phi(a); a \in R`
Но это все функционалы. Не представляю, как с ними работать без этого `\phi`.
upd: Может мне надо бы найти `(f, \phi)`?
upd2: хотя нет, вы же сказали, как можно найти решение этого уравнения. Остается только понять, как получается эта правая часть.

2017-05-19 в 22:55 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
По этому комментарию я стал догадываться, что так делать нельзя
к сожалению я всю эту кухню хорошенько подзабыл...
понятно, что всё равно интегрировать в классическом смысле это уравнение придётся, поскольку в точках `x != 0; 1; 2` решение будет совпадать с классическим...

в пособии из ссылки skifalan, то на странице 18 есть пример, правда с первой производной...
вероятно, можно подбирать коэффициенты в обобщённой части решения, которая имеет вид суммы дельта-функций... а возможно и производных от дельта-функций...

2017-05-19 в 23:01 

IWannaBeTheVeryBest
Я вот такую штуку там где-то еще нашел.

Но правда в левой части множитель просто `x^m`. Эххх... Может там есть какой-нибудь общий вид левой части...
Ну а `f` - мы как раз замену сделали `f = y''`

2017-05-19 в 23:08 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Но правда в левой части множитель просто `x^m`. Эххх...
А что мешает рассматривать множители по отдельности?...

2017-05-19 в 23:16 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Если их рассмотреть по отдельности, то в конце как раз должно получиться равенство, о котором сказал skifalan? Там же вроде тогда функционал `P` должен разбиться на 3 штуки
`P1/x^2 + P1/(x - 1) + P1/(x - 2)`
Хотя наверное есть свойство о равенстве функционала суммы и суммы функционалов... А может я просто несу бред :D

2017-05-19 в 23:20 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Хотя наверное есть свойство о равенстве функционала суммы и суммы функционалов...
конечно есть... функционал-то линейный... :alles:

2017-05-19 в 23:36 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Хмм... У нас дано уравнение
`x^2(x - 1)(x - 2)*f = 1`
Тогда его решением должно же быть
`f = P(1/x^2 + 1/(x - 1) + 1/(x - 2)) + C_1 * \delta(x - 1) + C_2 * \delta(x - 2) + C_3 * \delta(x) + C_4 * \delta'(x)`
Или я что-то не так рассмотрел?
Будет там в конце производная. Извините, путаю всех сильно

2017-05-19 в 23:47 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, я считаю, что вместо `P(1/x^2 + 1/(x - 1) + 1/(x - 2))` должно быть `1/2 P 1/x^2 - P 1/(x-1) + 3/4 P 1/x +1/4 P 1/(x-2)`

2017-05-19 в 23:54 

IWannaBeTheVeryBest
skifalan, Ну как бы я предполагаю конечно, что в результате суммирования этих дробей как раз получится
`P(1/(x^2(x - 1)(x - 2)))`
Только как это так то :D Откуда эти коэффициенты?))
Может попробовать сделать замену `x^2(x - 1)(x - 2) = t` и потом получить решение
`P1/t + C_0 * \delta(t)`
А потом раскрыть `t`? Сделать так, как мне кажется, будет резонно. Или тут как-то быстрее можно получить эти коэффициенты?

2017-05-20 в 00:02 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, Надо показать, что ` AA phi in D ` выполняется следующее `(x^2 (x-1) (x-2) f, phi ) = (1, phi)`
`(x^2 (x-1) (x-2) f , phi ) = ( f, x^2 (x-1) (x-2) phi) =`
`= (1/2 P 1/x^2 - P 1/(x-1) + 3/4 P 1/x +1/4 P 1/(x-2) + c_1 delta(x-1) +c_2 delta(x-2) +c_3 delta(x) +`
`+c_4 delta' (x), x^2(x-1)(x-2) phi)` , так как функционал линеен, то можно разложить на слагаемые и заметить,что слагаемые с дельта функцией выдадут нули, останутся только регуляризации рассмотрим их отдельно:
1) `1/2 ( P 1/x^2, x^2(x-1)(x-2) phi ) = 1/2 V.p int (x^2(x-1)(x-2) phi) /(x^2) dx = 1/2 int (x-1)(x-2) phi dx `
2) `(P 1/(x-1), x^2 (x-1) (x-2) phi ) = V.p int (x^2 (x-1) (x-2) phi) /(x-1) dx = int (x^2 (x-2) phi )dx `
3) `3/4 (P 1/x, x^2 (x-1) (x-2) phi ) = 3/4 V.p int (x^2 (x-1) (x-2) phi )/x dx = 3/4 int (x (x-1) (x-2) phi ) dx`
4) ` 1/4 (P 1/(x-2) , x^2 (x-1) (x-2) phi) = 1/4 V.p int(x^2 (x-1) (x-2) phi)/(x-2) dx = 1/4 int (x^2 (x-1) phi )dx`
Теперь просуммировав слагаемые получим, то что было нужно, а именно:
`(f,x^2 (x-1) (x-2) phi) = 1/2 int (x-1)(x-2) phi dx - int x^2 (x-2) phi dx +`
`+3/4 int x (x-1) (x-2) phi dx +1/4 int x^2 (x-1) phi dx = int 1* phi dx = (1,phi)`
Вроде как - то так

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная