Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
15:10 

Обобщенные функции

IWannaBeTheVeryBest
"Решить уравнение в обобщенных функциях
`(x - 1)(x - 2)y'' = P(1/x^2)`"
Вообще есть у кого какая литературка по этому? Находил лекции по обобщенным функциям, но проблема в том, что из лекций далеко не всегда понятно, как что-то решать. А примеров я тоже не нашел...

@темы: Дифференциальные уравнения, Уравнения мат. физики

Комментарии
2017-05-15 в 20:27 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Посмотрите тут вроде примеры есть......

2017-05-15 в 20:54 

IWannaBeTheVeryBest
Я там просто не нашел, что такое `P`. Там было только определение, что такое `P1/x`. Что-то типа
`\forall \phi \in D: (P1/x, \phi(x)) = v.p. int_{R} (\phi(x)dx)/x = lim_{\epsilon -> +0} int_{|x| > \epsilon} (\phi(x)dx)/x`
`P` - это типа функционал какой-то?

2017-05-15 в 21:19 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, как я понимаю, `P` говорит о том, что мы задаём линейный функционал, как интеграл в смысле главного значения

2017-05-15 в 21:25 

IWannaBeTheVeryBest
skifalan, Но блин, функционал он же должен принимать параметры в виде функций. А как с голым функционалом решать диффур? Или я не врубаюсь...

2017-05-15 в 21:55 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, я бы поступил следующим образом, сначала разделил бы на `(x-1)(x-2)` получил бы `y'' = P(1/x^2) * 1/((x-1)(x-2))` далее искал бы фундаментальное решение однородной части, т.е. `y'' = 0` для неё фундаментальное решение `E(x) = theta(x) y(x)`, где y(x) решение `y'' = 0`, а `theta(x)` - функция Хевисайда. Далее чтобы найти фундаментальное решение исходного уравнения взял бы свёртку `E(x) * (P(1/x^2) * 1/((x-1)(x-2)))`. Но советую дождаться более компетентного мнения. :)

2017-05-15 в 21:57 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, и видимо после деления, в один момент надо будет заменить дроби на `P(1/(x-1))` и `P(1/(x-2))`

2017-05-15 в 22:21 

IWannaBeTheVeryBest
уоу уоу, нифига сколько инфы :D ну мне вообще надо бы почитать про свертки и про все это)) Мне просто надо срочно, поэтому читать целый учебник, когда уже семестр заканчивается - не вариант. ну я прочту бегло хотя бы, чтобы хоть понимать вас. Вы видимо все-таки разбираетесь в этом. Ну хоть как-то в отличие от меня))

2017-05-15 в 22:30 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, не сказал бы, что я в этом хорошо разбираюсь. Меня самого беспокоит тот факт, что во Владимирове решение ищется так, как я записал, но встречаю в других источниках фундаментальное решение выглядит иначе `E(x,y) = theta(x-y)K(x,y)`

2017-05-19 в 14:05 

IWannaBeTheVeryBest
skifalan,
для неё фундаментальное решение...
А откуда данная информация взята? Ну хотя бы чтобы ознакомиться с тем, что тут вообще происходит))

2017-05-19 в 14:15 

IWannaBeTheVeryBest
И да, можно ли тут считать, что после деления на `(x - 1)(x - 2)` мы получаем
`y'' = (P1/x, 1/(x(x - 1)(x - 2)))`?

2017-05-19 в 14:59 

IWannaBeTheVeryBest
Появилась идея, может глупая. А нельзя обе части равенства изначально домножить на `x^2`? По свойству `P1/x`: `x^2P1/(x^2) = 1`. Дальше тупо решать
`x^4(x - 2)y'' = 1`
Или так нельзя?

2017-05-19 в 22:09 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Или так нельзя?, можно... а что это даст?...
Ведь проинтегрировать уравнение получится только если выразить вторую производную...

2017-05-19 в 22:16 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, после некоторой консультации пришёл к следующему выводу:
обзначим `y'' = f` получим следующее уравнение `(x-1)(x-2) f = P(1/x^2)`. Далее для того, чтобы получить `P(1/x^2)` предлагаю взять в качестве `f = P(1/(x^2*(x-1)*(x-2))) + c_1 delta(x-1) + c_2 delta(x-2)`, не знаю как строго объяснить почему надо брать именно в таком виде `f`, но если подставить её в уравнение можно убедиться, что получится верное равенство. Далее получаем (с учётом, что `f = y''`) следующее дифференциальное уравнение `y'' = P(1/(x^2*(x-1)*(x-2))) + c_1 delta(x-1) + c_2 delta(x-2)`, а вот его решение ищется, как я уже говорил раннее. Почитать об этом можно здесь math.nw.ru/~grikurov/Distributions.pdf , начиная со страницы 18

2017-05-19 в 22:17 

IWannaBeTheVeryBest
а что это даст?...
ну я же могу решить `y'' = 1/(x^4(x - 2))` довольно просто. Составляем хар-е ур-е и вперед, как говорится :) Хотя наверное можно и проинтегрировать последовательно 2 раза.

2017-05-19 в 22:25 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, разве после домножения не будет `x^2*(x-1)*(x-2) y'' = 1 `. Не очень понял, откуда появилась четвертая степень.

2017-05-19 в 22:28 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
IWannaBeTheVeryBest, ну я же могу решить
Красиво Вы, умножив и поделив на `x^2`, избавились от обобщённой функции в правой части... :alles:

2017-05-19 в 22:30 

IWannaBeTheVeryBest
skifalan, Да, простите. Я тут еще параллельно другой пример рассматриваю. Именно так. И нельзя просто поделить и получить
`y'' = 1/(x^2(x - 1)(x - 2))`
и решить?

2017-05-19 в 22:37 

IWannaBeTheVeryBest
Красиво Вы...
По этому комментарию я стал догадываться, что так делать нельзя :D Ну я подозревал. Тогда не было бы смысла вставлять все это в правую часть равенства в самой задаче.
Ладно, буду думать
не знаю как строго объяснить почему надо брать именно в таком виде
А может надо просто подбирать?)) Я был бы очень рад, но видимо надо разобраться, почему так

2017-05-19 в 22:48 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, я думаю, что так как вы сделали можно, но все равно надо будет рассмотреть регуляризацию дроби справа

2017-05-19 в 22:48 

IWannaBeTheVeryBest
В каком-то учебнике нашел:
`(\delta(x - a), \phi) = \phi(a); a \in R`
Но это все функционалы. Не представляю, как с ними работать без этого `\phi`.
upd: Может мне надо бы найти `(f, \phi)`?
upd2: хотя нет, вы же сказали, как можно найти решение этого уравнения. Остается только понять, как получается эта правая часть.

2017-05-19 в 22:55 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
По этому комментарию я стал догадываться, что так делать нельзя
к сожалению я всю эту кухню хорошенько подзабыл...
понятно, что всё равно интегрировать в классическом смысле это уравнение придётся, поскольку в точках `x != 0; 1; 2` решение будет совпадать с классическим...

в пособии из ссылки skifalan, то на странице 18 есть пример, правда с первой производной...
вероятно, можно подбирать коэффициенты в обобщённой части решения, которая имеет вид суммы дельта-функций... а возможно и производных от дельта-функций...

2017-05-19 в 23:01 

IWannaBeTheVeryBest
Я вот такую штуку там где-то еще нашел.

Но правда в левой части множитель просто `x^m`. Эххх... Может там есть какой-нибудь общий вид левой части...
Ну а `f` - мы как раз замену сделали `f = y''`

2017-05-19 в 23:08 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Но правда в левой части множитель просто `x^m`. Эххх...
А что мешает рассматривать множители по отдельности?...

2017-05-19 в 23:16 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Если их рассмотреть по отдельности, то в конце как раз должно получиться равенство, о котором сказал skifalan? Там же вроде тогда функционал `P` должен разбиться на 3 штуки
`P1/x^2 + P1/(x - 1) + P1/(x - 2)`
Хотя наверное есть свойство о равенстве функционала суммы и суммы функционалов... А может я просто несу бред :D

2017-05-19 в 23:20 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Хотя наверное есть свойство о равенстве функционала суммы и суммы функционалов...
конечно есть... функционал-то линейный... :alles:

2017-05-19 в 23:36 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Хмм... У нас дано уравнение
`x^2(x - 1)(x - 2)*f = 1`
Тогда его решением должно же быть
`f = P(1/x^2 + 1/(x - 1) + 1/(x - 2)) + C_1 * \delta(x - 1) + C_2 * \delta(x - 2) + C_3 * \delta(x) + C_4 * \delta'(x)`
Или я что-то не так рассмотрел?
Будет там в конце производная. Извините, путаю всех сильно

2017-05-19 в 23:47 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, я считаю, что вместо `P(1/x^2 + 1/(x - 1) + 1/(x - 2))` должно быть `1/2 P 1/x^2 - P 1/(x-1) + 3/4 P 1/x +1/4 P 1/(x-2)`

2017-05-19 в 23:54 

IWannaBeTheVeryBest
skifalan, Ну как бы я предполагаю конечно, что в результате суммирования этих дробей как раз получится
`P(1/(x^2(x - 1)(x - 2)))`
Только как это так то :D Откуда эти коэффициенты?))
Может попробовать сделать замену `x^2(x - 1)(x - 2) = t` и потом получить решение
`P1/t + C_0 * \delta(t)`
А потом раскрыть `t`? Сделать так, как мне кажется, будет резонно. Или тут как-то быстрее можно получить эти коэффициенты?

2017-05-20 в 00:02 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, Надо показать, что ` AA phi in D ` выполняется следующее `(x^2 (x-1) (x-2) f, phi ) = (1, phi)`
`(x^2 (x-1) (x-2) f , phi ) = ( f, x^2 (x-1) (x-2) phi) =`
`= (1/2 P 1/x^2 - P 1/(x-1) + 3/4 P 1/x +1/4 P 1/(x-2) + c_1 delta(x-1) +c_2 delta(x-2) +c_3 delta(x) +`
`+c_4 delta' (x), x^2(x-1)(x-2) phi)` , так как функционал линеен, то можно разложить на слагаемые и заметить,что слагаемые с дельта функцией выдадут нули, останутся только регуляризации рассмотрим их отдельно:
1) `1/2 ( P 1/x^2, x^2(x-1)(x-2) phi ) = 1/2 V.p int (x^2(x-1)(x-2) phi) /(x^2) dx = 1/2 int (x-1)(x-2) phi dx `
2) `(P 1/(x-1), x^2 (x-1) (x-2) phi ) = V.p int (x^2 (x-1) (x-2) phi) /(x-1) dx = int (x^2 (x-2) phi )dx `
3) `3/4 (P 1/x, x^2 (x-1) (x-2) phi ) = 3/4 V.p int (x^2 (x-1) (x-2) phi )/x dx = 3/4 int (x (x-1) (x-2) phi ) dx`
4) ` 1/4 (P 1/(x-2) , x^2 (x-1) (x-2) phi) = 1/4 V.p int(x^2 (x-1) (x-2) phi)/(x-2) dx = 1/4 int (x^2 (x-1) phi )dx`
Теперь просуммировав слагаемые получим, то что было нужно, а именно:
`(f,x^2 (x-1) (x-2) phi) = 1/2 int (x-1)(x-2) phi dx - int x^2 (x-2) phi dx +`
`+3/4 int x (x-1) (x-2) phi dx +1/4 int x^2 (x-1) phi dx = int 1* phi dx = (1,phi)`
Вроде как - то так

2017-05-20 в 00:08 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, коэффициенты при регуляризациях получены из следующего соображения
`1/(x^2(x-1)(x-2)) = A/x +B/x^2 +C/(x-1) +D/(x-2)` метод неопределенных коэффициентов

2017-05-20 в 00:25 

IWannaBeTheVeryBest
Ага, ну вроде понял... То есть как бы в решении, где мы получаем `f`, в первое слагаемое с функционалом `P` идет все, что стоит перед `f`? Ну то есть если бы было дано уравнение
`\prod_{i = 1}^{k} (x - a_i)^{\n_i} * f = 1`
то решение записывалось бы в виде
`f = P(1/(\prod_{i = 1}^{k} (x - a_i)^{n_i})) + \dots`?

2017-05-20 в 00:34 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, думаю, что да, только, наверное лучше сразу разбивать на простейшие. Не могу говорить со стопроцентной гарантией, так как повторюсь, не большой специалист в обобщенных функциях. Не хочется дезинформировать вас.
Осталось теперь найти решение дифференциального уравнения где `y'' = f`

2017-05-20 в 00:45 

IWannaBeTheVeryBest
skifalan, Осталось теперь найти решение дифференциального уравнения где
Ага ну хорошо, там вы ссылку дали)) Только, с вашего позволения, наверное завтра (уже сегодня по моим часам :)) найду его, ибо сегодня уже плохо соображаю))
Не хочется дезинформировать вас.
Да вроде это логично выглядит. Ну это решение. Да и если что All_ex может что-то заподозрит и скажет))
А так, безусловно, большое вам спасибо с All_ex, очень помогаете мне))

2017-05-20 в 11:55 

IWannaBeTheVeryBest
Ну вроде как
`y'' = 0`
Здесь решение
`y = Ax + B`
Если `E(x) = \theta(x) * (Ax + B)`
Тогда решением уравнения будет
`E * f = \theta(x) * (Ax + B) * (P1/(x^2(x - 1)(x - 2)) + C_1*\delta(x - 1) + C_2*\delta(x - 2) + C_3*\delta(x) + C_4*\delta'(x))`
Так? Или я что-то не так понял?

2017-05-20 в 12:00 

IWannaBeTheVeryBest
Хотя я что-то не прочитал, что такое свертка.
`(E * f)(x) = int E(t) * f(x - t) dt`

2017-05-20 в 12:13 

IWannaBeTheVeryBest
Я правда не понимаю, почему `E(x)` именно так представляется
Ну там написан пример
`L = d^2/(dx^2) - 1 => E(x) = \theta(x) * sinh(x)`
Как это решилось? Не понимаю, как с этими функционалами работают. Вот если его применить к `y`, то
`Ly = y'' - y`
Общее решение однородного уравнения `y'' - y = 0` это
`y = C_1 * e^x + C_2 * e^-x`
Хотя отсюда можно получить конечно `sinh(x)`, если `C_1 = 1/2`, `C_2 = -1/2`. Но это же только при определенных константах.

2017-05-20 в 14:31 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, Как это решилось? :
Попробую объяснить у нас имеется `L g = h`. У нас есть следующее свойство дельта функции. Для любой обобщенной функции `g` : `g ** delta(x) = g`. Поэтому мы хотим найти такую функцию `E`, чтобы `LE = delta`, т.к. после мы сможем применить свёртку и получить ` L (E ** h) = h`, т.е. `g = E ** h`.
По поводу почему они взяли `sinh(x)`. Нам нужно, чтобы `u` - было решением однородного дифференциального уравнения
`Lu = u^((m))+a_1(x)u^((m-1)) + ... + a_m(x) u =0`,
удовлетворяющее начальным условиям
`u(0) = u'(0) = ... = u^((m-2)) (0) = 0, u^((m-1)) (0) = 1`
Тогда `E(x) = theta(x) u(x)`, такая, что `LE = delta`. Это можно проверить применив оператор `L` к `E`

2017-05-20 в 14:53 

IWannaBeTheVeryBest
skifalan, Хорошо. Тогда в моем случае
`m = 2` => `y'(0) = 1; y(0) = 0`
`y'(0) = C_1 = 1`
`y(0) = C_2 = 0`
`{(C_1 = 1), (C_2 = 0):} => E(x) = \theta(x) * x`
Так?
А насколько я понял из примера, частным решением моего уравнения будет интеграл
`int_{0}^{+\infty} x * f(x - t) dt`

2017-05-20 в 15:04 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, у вас ведь получилось `y(x) = c_1 e^(x) + c_2 e^(-x)`
`y(0) = 0 => c_1+c_2 =0`
`y'(0) = 1 => y'(x) = c_1 e^(x) -c_2 e^(-x) => y'(0) = c_1 - c_2 =1`
Из данной системы, как раз получаем,что `c_1 = 1/2` и `c_2 = -1/2`

2017-05-20 в 15:08 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, извините, вы уже о исходном уравнении, я перепутал.

2017-05-20 в 15:11 

IWannaBeTheVeryBest
skifalan, Дада, об исходном.
В таком случае общее решение исходного уравнения будет в виде
`y = C_1x + C_2 + int_{0}^{+\infty} x * f(x - t) dt`?

2017-05-20 в 15:14 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, `int_0^(oo) t f(x-t) dt`

2017-05-20 в 15:32 

IWannaBeTheVeryBest
skifalan, Ага, дада. Там t.
Остался только вопрос, что делать при интегрировании функционалов. Ну, насколько я понял, все `\delta` перейдут в `\theta`, `\delta'` перейдет в `\delta`. Вот что делать с `P`... Ну вообще, насколько я знаю, `P1/(x^2)` переходит в `-P1/x`. А вот куда будет переходить `P1/x` при интегрировании по икс? Ну я просто в общем виде взял. Понятно, что там интегрирование по `t` и там будет `P1/(x - 2 - t)`

2017-05-20 в 17:54 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, А вот куда будет переходить `P1/x`. Можно показать,что `(log |x|)' = P1/x`.
Но там ведь не чистые функции стоят, а ещё домноженные на что - то. Например по поводу дельта функций ` theta(x)*x ** c_1 delta(x-1) = c_1 theta(1)*1 = c_1`.
Это я к тому, что не понял почему `delta` перейдёт в `theta`

2017-05-20 в 18:40 

IWannaBeTheVeryBest
skifalan, Так вроде `\theta' = \delta`. Поэтому так подумал. А откуда там еще `\theta(x)` взялось? И что это за значок такой **?

2017-05-20 в 19:14 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, ** - я так обозначаю свёртку. У вас ведь получилось, что `E(x) = theta(x) * x`, далее надо взять свёртку `E ** f`, где `f` состоит из большого количества слагаемых, я показал, что получится при свёртке `E` с одним слагаемым,а именно с `c_1 delta(x-1)`

2017-05-20 в 21:09 

IWannaBeTheVeryBest
skifalan, Так, пытаюсь сообразить. Мне же надо проинтегрировать
`int_{0}^{+\infty} t * (P1/((x - t)^2(x - 1 - t)(x - 2 - t)) + c_1\delta(x - 1 - t) + c_2\delta(x - 2 - t) + c_3\delta(x - t) + c_4\delta'(x - t)) dt`
Как я понимаю, удобнее разбить на сумму дробей. Тогда, ну возьмем первое слагаемое:
`1/2int_{0}^{+\infty} t * P1/((x - t)^2) dt`
если разбить дробь `1/((x - t)^2(x - 1 - t)(x - 2 - t))` на сумму дробей...
И как эту штуку с функционалом интегрировать?
И да, когда вы показывали, что произойдет со слагаемым после свертки... Откуда там единица взялась? От того, что
`(\delta(x - 1), \phi) = \phi(1)`?

2017-05-22 в 20:52 

skifalan
IWannaBeTheVeryBest, да, лучше разбить на сумму дробей.
И да, когда вы показывали, что произойдет со слагаемым после свертки... Откуда там единица взялась?
Это я вас ввёл в заблуждении, на самом деле там надо пользоваться тем, что `E ** delta(x - x_0) = E(x-x_0)`

2017-05-22 в 22:37 

IWannaBeTheVeryBest
skifalan, Ладно бывает. Но я не могу разобраться, как интегрировать-то? :D Можно `P` за знак интеграла вынести просто? Иначе говоря, вносится ли знак интеграла под функционал?
Тогда, ну возьмем первое слагаемое:
Тут, в принципе, можно справиться методом замены. ну скажем
`Pt/((x - t)^2) = P(-1 * ((x - t)/((x - t)^2) - x/((x - t)^2)))` (если мы можем внести t под функционал)
Дальше просто `x - t = p` и можно заканчивать.
А вот дельты таки будут переходить в теты?

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная