22:21 

Теория чисел. Остатки

IWannaBeTheVeryBest
"Доказать, что квадрат любого целого числа не представим в виде `4k + 2` где `k \in Z`"
Решал так. Ну предположим, что у нас есть некоторое число `a = 4q + r`. `0 <= r < 4`, `q \in Z`. Тогда `a^2 = (4q + r)^2 = 16q^2 + 8qr + r^2`.
1) `r = 0`
`a^2 = 16q^2 = |k = 4q| = 4k`
2) `r = 1`
`a^2 = 16q^2 + 8q + 1 = 4q(4q + 2) + 1 = |k = q(4q + 2)| = 4k + 1`
3) `r = 2`
`a^2 = 16q^2 + 16q + 4 = 4(4q^2 + 4q + 1) = |k = 4q^2 + 4q + 1| = 4k`
4) `r = 3`
`a^2 = 16q^2 + 24q + 9 = 4q(4q + 6) + 8 + 1 = 4(q(4q + 6) + 2) + 1 = |k = q(4q + 6) + 2| = 4k + 1`
Соответственно, квадрат любого числа представим либо в виде `4k` либо в виде `4k + 1`.
Верно? Если да, то меня стал мучить такой вопрос.
`a^2 \neq 4k + 2 = 2(2k + 1)`
`a \neq +- sqrt(2) * sqrt(2k + 1)`
То есть, по сути, здесь говорится, что так как `a` - целое и оно неравно `+- sqrt(2) * sqrt(2k + 1)`, то вообще говоря последнее не является целым числом.
Вопрос такой. А где-то действительно есть такая теоремка, что произведение нечетного числа на двойку есть число из которого не извлекается квадратный корень? ну или квадратный корень произведения двойки на нечетное число есть число иррациональное? Или это слишком примитивно? :D Просто я сомневаюсь, что я открыл что-то новое.
Однако с ходу не могу придумать этому доказательства.

@темы: Теория чисел

Комментарии
2017-05-08 в 22:46 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
Всё гораздо проще.
Если `a^2` четно, то и `a` должно быть четно.
`a=2k`
Тогда
`a^2=4k^2`
Т.е. квадрат любого четного числа делится на 4. А квадрат нечетного числа - нечетен сам.
И это ответ на ваш вопрос. Не бывает четных чисел, не делящихся на 4, которые были бы квадратами. )

2017-05-08 в 23:02 

IWannaBeTheVeryBest
Всё гораздо проще.
Я правильно вас понял?
`a` либо четное либо нечетное. В таком случае `a = 2q` или `a = 2q + 1`.
А тогда `a^2 = 4q^2 = |k = q^2| = 4k` или же
`a^2 = (2q + 1)^2`, но тут можно дальше не рассматривать, так как квадрат нечетного числа - нечетное число, а нас требуют проверить четное

2017-05-08 в 23:12 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
Я правильно вас понял?
Да, всё верно :)

2017-05-08 в 23:14 

IWannaBeTheVeryBest
Дилетант, Спасибо))

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная