16:55 

Теория вероятностей. Функция от нескольких случайных величин.

IWannaBeTheVeryBest
"`X_1, X_2 ... X_n` - случайные независимые величины, каждая из которых имеет плотность распределения `f(x) = {(ax; x \in [0; 1]), (0; x \notin [0; 1]):}`. Найти плотность распределения случайной величины `X = min{X_1, X_2, ... , X_n}`"
Как я понял, найти сначала функцию распределения. Для каждой случайной величины она будет выглядеть так.
`F(x) = int_{-\infty}^{x} ax dx = {(0; x < 0), ((ax^2)/2; x >= 0):}`
Теперь можно найти функцию распределения случайной величины `X = min{X_1, X_2, ... , X_n}`. То есть
`F_X(x) = P{X < x} = P{min{X_1, X_2, ... , X_n} < x}`
А вот что дальше - не соображу. Вроде как если по определению, то
`F_X(x) = {(0; x < 0),(P{min{X_1; X_2; ... ; X_n} < x}; x \in [0;1]),(1; x > 1):}`
Если бы я ее нашел, то дальше оставалось бы просто найти производную и плотность найдена. Может я не в том направлении утопал? Ну я вроде как понимаю, что плотность должна быть равна нулю, если `x < 0`, так как вероятность того, что минимум из этих величин будет меньше икса, который итак меньше 0, равна 0 (ну как бы сами величины не могут принять значение < 0, исходя из функции распределения каждой из величин.). Тогда будем искать эту вероятность только для `x >= 0`. Мне пока кажется, что надо перемножить все вероятности `P{X_1 < x} * P{X_2 < x} * ... * P{X_n < x}`, хотя не могу этого логически объяснить. Может это и неверно вовсе)

@темы: Теория вероятностей

Комментарии
2017-04-30 в 19:00 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Как я понял, найти сначала функцию распределения.
для начала надо было найти параметр `a`... ну, и попутно ФР...

Для каждой случайной величины она будет выглядеть так.
во-первых, почему интеграл от минус бесконечности?...
во вторых, не совсем хорошо обозначать верхний предел так же, как переменную интегрирования...
в-третьих, почему вторым условием является неравенство `x \ge 0`?...

Вроде как если по определению, то
А зачем тут составная функция?...

Мне пока кажется, что надо перемножить все вероятности
нет... это для максимума...
тут надо рассматривать противоположное неравенство `P(min{X_1;...;X_n} ge x) = P(X_1 ge x) *...* P(X_1 ge x)`...

2017-04-30 в 19:50 

IWannaBeTheVeryBest
для начала надо было найти параметр
`int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = int_{0}^{1} ax dx = a = 1`
почему интеграл от минус бесконечности?...
Так по определению вроде.
ФР может быть выражена через плотность интегралом
`int_{\-infty}^{x} f(x) dx `, `f(x)` - плотность распределения.
во вторых, не совсем хорошо обозначать верхний предел так же, как переменную интегрирования...
Опять же, такое представление было в книге (я везде под книгой имею ввиду Кремера). Ну хорошо. Возьмем тогда переменную интегрирования `t`.
`int_{\-infty}^{x} f(t) dt`
в-третьих, почему вторым условием является неравенство
Ну вообще, я тут подумал, что плотность распределения отлична от нуля только на промежутке `[0; 1]`. Поэтому если икс будет любым из промежутка, то интеграл будет как раз в виде
`int_{-\infty}^{x} t dt = int_{-\infty}^{0} t dt + int_{0}^{x} t dt = int_{0}^{x} t dt`
Аа да. Ну тут наверное, если `x > 1`, то интеграл будет в виде `int_{0}^{1} t dt`. Поэтому будет 3 промежутка как раз. `x < 0`; `x \in [0; 1]`; `x > 1`.
тут надо рассматривать противоположное неравенство
А почему так? Ведь по определению ФР `F_X(x) = P{X <= x}`?

2017-04-30 в 22:12 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Так по определению вроде. ФР может быть выражена через плотность интегралом
Если бы Вы написали плотность в общем виде, тогда было бы нормально... но Вы написали `a*x`, что соответствует только определённой части плотности...

Опять же, такое представление было в книге (я везде под книгой имею ввиду Кремера).
Такое обозначение используется... но всё же лучше его избегать...

Поэтому если икс будет любым из промежутка, то интеграл будет как раз в виде `int_{-\infty}^{x} t dt = int_{-\infty}^{0} t dt + int_{0}^{x} t dt = int_{0}^{x} t dt`
Простите, но ... во-первых, Вы изначально написали расходящийся интеграл... а, во-вторых, чего ради `int_{-\infty}^{0} t dt = 0`?...
Вы почему-то путаете (или ленитесь) писать интеграл от плотности `f(t)`... а уже потом на соответствующих интервалах подставлять её аналитическое представление...

А почему так? Ведь по определению ФР
Я и не говорил, что это сразу ФР... я говорил, что "удобнее рассматривать", поскольку это событие легко представляется произведением независимых событий `X_k \ge x`...
А эти вероятности Вы потом легко выражаете через ФР...

по определению ФР `F_X(x) = P{X <= x}`?
Кстати, строгое неравенство более традиционно в определении ФР...

2017-04-30 в 22:32 

IWannaBeTheVeryBest
Вы почему-то путаете (или ленитесь) писать интеграл от плотности
Да я просто тороплюсь постоянно. Руки не поспевают за потоком мыслей :D.
Безусловно
`int_{-\infty}^{x} f(t) dt= int_{-\infty}^{0} f(t) dt + int_{0}^{x} f(t) dt = int_{0}^{x} t dt = (x^2)/2` для `x \in [0; 1]`
`int_{0}^{1} tdt = 1/2` для `x > 1`
Если конечно опять не напортачил)) Просто когда пишу, тут нет предпросмотра. Не очень понятно. Хотя можно потом, после публикации ответа, проверять и исправлять ошибки.
А вот про неравенства я не очень понимаю. Почему вообще ставится знак не меньше? Слабо улавливаю смысл. Почему для максимума - не больше, а для минимума - не меньше? Это чем-то обусловлено должно быть. Вероятность того, что минимальная случайная величина окажется не меньше икса? И это разбивается в произведение?

2017-04-30 в 22:46 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Кстати, я прошляпил Ваше нахождение параметра `a` из предыдущего комментария... :upset: ... не находите его странным?...
И как бы в продолжение... `int_{0}^{1} tdt = 1/2` для `x > 1` - ФР на бесконечности должна иметь предел равный единице...

А вот про неравенства я не очень понимаю. Почему вообще ставится знак не меньше?
Ну, достаточно очевидно, что если минимум больше икса, то все элементы множества тоже больше икса, поскольку `X_k \ge min{X_1;...;X_n} \ge x`...

2017-04-30 в 23:37 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Да точно, `a = 2`. Там же `(x^2)/2|_{0}^{1}`.
И как бы в продолжение...
Да еще и пока мой мозг занят решением, я не вижу очевидные вещи, которые указывают на то, что решение неверно. Тогда:
`int_{0}^{x} 2t dt = x^2`
`int_{0}^{1} 2t dt = 1`
Про неравенства - понял. Тогда
`P{min{X_1 ... X_n}} = P{X_1 >= x} * ... * P{X_n >= x} = (1 - P{X_1 < x}) * \dots * (1 - P{X_n < x}) = `
`= \prod_{i = 1}^{n} (1 - P{X_i < x}) = \prod_{i = 1}^{n} (1 - F_X_i(x))`
Пока вроде так... Тут мне надо как-то выразить `F_X(x)`?

2017-05-01 в 00:14 

IWannaBeTheVeryBest
правка: `P{min{X_1 ... X_n} >= x} = ...`

2017-05-01 в 00:40 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Пока вроде так... Тут мне надо как-то выразить `F_X(x)`?
:upset: ... Эммм .... Ну, если Вы знаете, что `P{X_1 >= x} = 1 - P{X_1 < x} = (1 - F_{X_1}(x))`, то в чём трудность записать тоже самое для минимума?... :nope:

2017-05-01 в 01:10 

IWannaBeTheVeryBest
Мы же должны в итоге получить функцию вида
`F_X(x) = P{min{X_1 ... X_n} < x} = 1 - P{min{X_1 ... X_n} >= x}`
Так?

2017-05-01 в 06:29 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Ну, и?...

2017-05-01 в 10:38 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, А выражение для `P{min{X_1 ... X_n} >= x}` мы знаем. Получается
`1 - \prod_{i = 1}^{n} (1 - F_X_i(x))`
Тогда получается, что
`F_X(x) = {(0; x < 0), (1 - (1 - x^2)^n; 0 <= x <= 1), (1; x > 1):}`
`x^2` внутри, так как у нас получилась ФР для каждой величины такая
`F(x) = {(0; x < 0), (x^2; 0 <= x <= 1), (1; x > 1):}`

2017-05-01 в 14:58 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
вроде всё так...

2017-05-01 в 15:10 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Хорошо. В таком случае плотность вероятности получается
`f_X(x) = {(2x*n*(1 - x^2)^{n - 1}; x \in [0; 1]), (0; x \notin [0; 1]):}`
С ответом просто немного не сошлось. Там не `2x*n*(1 - x^2)^{n - 1}`, а `n*(1 - x)^{n - 1}`. Ну видимо или там опечатка, либо я неверно нашел ФР для каждой из случайных величин. Хотя вроде там без вариантов должно получаться `x^2` для икса из промежутка `[0; 1]`.

2017-05-01 в 18:14 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
В таком случае плотность вероятности получается
да...

С ответом просто немного не сошлось.
Судя по ответу, были даны равномерно распределённые СВ... опечатка... или не в тот ответ посмотрели... :alles:

2017-05-01 в 18:22 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Еще раз все проверил. Скорее всего опечатка. В задаче была дана только плотность распределения каждой величины и величина `X = min{...}`. Ладно бывает))
Спасибо за помощь))

2017-05-01 в 20:00 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome ...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная