Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
19:45 

Найти матрицу оператора

Добрый день!
Задача: найти матрицу оператора поворота трехмерного пространства на угол `2pi/3` вокруг прямой, заданной в прямоугольной системе координат уравнениями `x_1=x_2=x_3`, в базисе из единичных векторов осей координат.

Мое решение:
Перейдем к новому базису `f_1=((1),(0),(-1)), f_2=((1),(-2),(1)), f_3=((1),(1),(1))`.
Матрица оператора в новом базисе :
`A = 1/2*((-sqrt(3),-1,0),(1,-sqrt(3),0),(0,0,2))`
Матрица перехода:
`T = ((1,1,1),(0,-2,1),(-1,1,1))`.
Обратная ей:
`T^(-1) = -1/6*((-3,0,3),(-1,2,-1),(-2,-2,-2))
Тогда матрица оператора в стандартном базисе равна `TAT^(-1)`.
Ответ указан вообще другой :
`((0,0,1),(1,0,0),(0,1,0))` и `((0,1,0),(0,0,1),(1,0,0))`.
Как я понимаю в ответе 2 матрицы, потому что не сказано в каком направлении происходит вращение(по часовой или против часовой).
Я же рассматривал только случай вращения против часовой, но матрица в любом случае не получается такой как в ответе.
Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так?

@темы: Аналитическая геометрия, Векторная алгебра, Матрицы, Линейные преобразования, Линейная алгебра

Комментарии
2017-03-19 в 20:11 

Alidoro
`f_1` и `f_2` перпендикулярны `f_3` это отлично. `f_1` и `f_2` перпендикулярны между собой -- тоже отлично. `f_1` и `f_2` имеют одинаковую длину -- а вот это не выполняется. Вывод: задавать поворот такой матрицей, как у вас, нельзя.

Задачу проще всего решать так: Базисные векторы `i`, `j`, `k` составляют одинаковый угол с осью вращения, следовательно можно так повернуть, что `i` перейдет в `j`, `j` перейдет в `k`, `k` перейдет в `i`. Матрица этого поворота будет такая, как первая в ответе. Чтобы убедиться, что это поворот, достаточно посчитать что определитель равен единице. Это значит, длина сохраняется и существует неподвижная точка. Теперь, если это поворот произвести три раза, то получится поворот на `2 pi`. То есть сам поворот сделан на угол в три раза меньше, а именно `2 pi/3`. Получается, что этот поворот именно тот, про который спрашивается в задаче.

2017-03-19 в 20:55 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
А.С. Климчик Р.И. Гомолицкий Ф.В. Фурман К.И. Сёмкин "Разработка управляющих программ промышленных роботов" - Минск, 2008 - www.bsuir.by/m/12_113415_1_70397.pdf
Тут со стр 16 и далее про матрицы поворота для произвольных углов и осей... вдруг интересно будет...

2017-03-20 в 15:20 

Alidoro, All_ex, спасибо, интересное и понятное решение. Но теперь хочется все-таки разобраться, как ее решать "в лоб".
Совсем забыл нормировать векторы. Правильно ли я понимаю, что f3 я могу не трогать, т.к. он не участвует в повороте?
Тогда получаем, что `f_1=((1/sqrt(2)),(0),(-1/sqrt(2))), f_2=((1/sqrt(6)),(-2/sqrt(6)),(1)), f_3=((1),(1),(1))`
Матрица поворота остается прежней, а матрица перехода имеет такой вид:
`T = ((1/sqrt(2),1/sqrt(6),1),(0,-2/sqrt(6),1),(-1/sqrt(2),1/sqrt(6),1))`
`T^(-1)=((1/sqrt(2),0,-1/sqrt(2)),(1/sqrt(6),-sqrt(6)/3,1/sqrt(6)),(1/3,1/3,1/3))`
Тогда матрица оператора в стандартном базисе равна `TAT^(-1)`, но она опять не совпадает с ответом.

URL
2017-03-20 в 16:11 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Ну, не знаю... посчитал в экселе... сошлось (с точностью до того, что вместо нулей выдаёт `10^{-16}`)...

2017-03-20 в 17:05 

All_ex, возможно я не в том порядке перемножаю?

2017-03-20 в 20:23 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Хм... сразу и не посмотрел что у Вас матрица поворота выписана не правильно... у Вас поворот на `{-5*\pi}/{6}` ...

`A = ((cos a, sin a, 0), (- sin a, cos a, 0), (0, 0, 1))` при `a = {2*\pi}/{3}` даст `A = ((-1/2, {sqrt{3}}/2, 0), ( -{sqrt{3}}/2, -1/2, 0), (0, 0, 1))`...

2017-03-26 в 15:50 

All_ex, но у меня поворот на `2*pi/3`

2017-03-26 в 18:24 

All_ex, понял, где ошибался, спасибо большое!

2017-03-26 в 20:52 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome ...

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная