19:50 

Вычислить матрицу ортогонального проектирования

IWannaBeTheVeryBest
Вычислить матрицу ортогонального проектирования пространства `E_3` на подпространство `L`, если `L` - плоскость, натянутая на вектора
`x = (-1,1,-1)`
`y = (1,-3,2)`
Верно ли я понимаю, что задачу можно переформулировать как поиск матрицы оператора проектирования `P:E_3 -> L`?
Ну вот по сути, когда я находил раньше находил матрицы операторов, я смотрел на действие оператора на базисных векторах, смотрел какими они становятся в `L`, и записывал их в матрицу. Ну в общем просто записывал образы базисных векторов в матрицу и все.
Только тут плоскость какая-то неудобная. В ней лежат все вектора вида `ax + by`. То есть каждый из базисных векторов должен стать представимым в виде данной линейной комбинации. Но я не могу понять, куда конкретно они будут переходить? Вот если бы это была просто какая-то плоскость типа `z = 0`, то я бы взял трехмерную единичную матрицу и занулил соответствующую единицу.
Может надо как-то развернуть сначала систему координат как-то, чтобы получилась данная плоскость, потом подействовать на нее обычной матрицей проектирования и повернуть обратно? Могу найти ортогональный вектор двум данным `z`, затем перевести `x, y, z` в `e_1, e_2, e_3` соответственно, получить матрицу этого преобразования, воспользоваться стандартной матрицей проектора и воспользоваться обратным преобразованием. Правда заморочек много. Может проще можно?

@темы: Линейная алгебра

Комментарии
2017-02-21 в 20:11 

IWannaBeTheVeryBest
Аа. Или же просто записать матрицу которая переводит `e_1 -> x`; `e_2 -> y`; `e_3 ->0`? Ведь по-сути, система базисных векторов на этой плоскости как раз `x,y,0`.

2017-02-21 в 20:27 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Аа. Или же просто записать матрицу которая переводит `e_1 -> x`; `e_2 -> y`; `e_3 ->0`? - а чего ради именно так будет проецироваться?... я так понимаю, что проекция должна быть ортогональная...

Вы указали нормальный путь решения с поворотами...
Возможно образы базисных векторов на плоскость искать будет чуть короче...
В принципе можно и в общем виде образ искать... а потом подставить базисные векторы... типа есть вектор `\bar{m}`... его образ имеет вид `a*\bar{x} + b*\bar{y}`... тогда `\bar{m} - a*\bar{x} - b*\bar{y}` перпендикулярен векторам `\bar{x}` и `\bar{y}`, откуда получаете для коэффициентов два линейных уравнения...

2017-02-21 в 20:47 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex,
а чего ради именно так будет проецироваться?
Да, тут я тупанул.
Так. Ну с первым способом я думаю буду разбираться. А вот который вы указали, чуть короче который. Я просто не понял, почему разность вектора и его образа есть вектор перпендикулярный векторам базиса `L`?
Дальше вроде по этому способу все ясно.

2017-02-21 в 20:55 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Я просто не понял, почему разность вектора и его образа есть вектор перпендикулярный векторам базиса `L`?
Ну, Вы же ортогональную проекцию ищите... :nope:
Нарисуйте вектор` \bar{m}`, выпущенный из точки плоскости... опустите перпендикуляр из его конца... вот Вам и проекция... вроде вывод не должен вызывать недоразумений...

2017-02-21 в 21:07 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Аа да, действительно))
Ладно, спасибо) Буду решать. Если будут вопросы по задаче, ответите? Ну конечно если будете свободны.

2017-02-21 в 21:14 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Будут вопросы - задавайте... как увижу, постараюсь ответить, если никто не опередит... :alles:

2017-02-21 в 22:41 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Так. Я нашел вектор, который будет ортогональным двум данным, на которые натянута плоскость `L`. `z = (5,3,-2)`
Воспользовался решением системы
`(x,z)=0`
`(y,z)=0`
(кстати, а можно было найти просто векторное произведение `[x, y]` для этого?)
Далее для удобства будем считать, что `x=f_1`, `y=f_2`, `z=f_3`
Матрица перехода `S_{e->f}` будет просто состоять из столбцов векторов базиса `f`.
Вот тут надо сообразить. Мне нужна матрица, которая будет действовать на вектор в базисе `e` и будет переводить его в эту плоскость. Для начала мне надо перевести вектор `e` в базис `f`. Это делается матрицей `S_{f->e} = (S_{e->f})^{-1}`. Потом я действую стандартной матрицей `P`, как матрицей проектирования на плоскость `Oz`, потом все это дело перевожу обратно в наш базис. Хотя очень плохо представляю, что происходит
`P' = S * P * S^{-1}`, где `S = S_{e->f}`
Так будет выглядеть матрица?

2017-02-21 в 23:16 

IWannaBeTheVeryBest
Хотя стоп. Вроде базис на нашей плоскости `L` должен быть ортонормированным, чтобы пользоваться стандартной матрицей `P`? Или не обязательно?

2017-02-22 в 14:06 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Хотя стоп. Вроде базис на нашей плоскости `L` должен быть ортонормированным - Зачем?... :upset:

кстати, а можно было найти просто векторное произведение - я бы сказал, что "нужно"... :)

Так будет выглядеть матрица? - ну, идея такая... (правда, я уже не помню порядок множителей... :nope: ... лучше сверится с учебником ... :old: ) ...

2017-02-22 в 15:22 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Все получилось, решил двумя способами))
Порядок множителей именно такой. Мы же по логике должны действовать исходной матрицей `P'` на вектор в базисе `e`. Поэтому самая правая матрица по-любому та, которая переведет вектор из `e` в `f`. Ну а дальше понятно.
Спасибо за помощь))

2017-02-22 в 19:11 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome ...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная