Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
18:59 

Интерполяция многочленом

Здравствуйте!
Вопрос такой - когда нам дана таблица значений функций, мы можем найти интерполяционный полином наименьшей степени методом Лагранжа или Ньютона.
Но что делать, если в качестве известных данных, нам даны не только значения функции, но и ее производной?
Понятно, что можно написать искомый многочлен в искомом виде, подставить все известные точки и получить систему линейных уравнений.
Но нет ли более "красивого" способа? Например, в методе Ньютона мы вычисляем коэффициенты последовательно и насколько я понимаю при добавлении новой точки, мы просто считаем еще одно значение(и старые при этом не меняются).
Например, как наиболее рационально решить какую-то такую задачу:
`f(x_0) = y0, f'(x_0) = y1, f(x_1) = y2, f'(x_1)=y3`.
Спасибо

@темы: Линейная алгебра, Системы линейных уравнений, Теория многочленов

Комментарии
2017-02-11 в 23:31 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
А Вам точно нужен многочлен, а не какой-нибудь квадратичный или кубический сплайн?...

2017-02-12 в 08:24 

All_ex, да, тема по алгебре - многочлены, 1 курс. Преподаватель говорил что есть и метод сплайна, но он будет позже на другом курсе.

2017-02-12 в 08:55 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Ну, тогда можно рассуждать так...

Построим многочлен в следующем виде - `p(x) = P(x) + (x - x_1)*...*(x - x_n)*Q(x)`... здесь `P(x)` - интерполяционный многочлен построенный по значениям функции...
Понятно, что `p'(x_k) = P'(x_k) + (x_k - x_1)*...*(x_k - x_{k - 1})*(x_k - x_k)*...*(x_k - x_n)*Q(x_k)` ... Получаем, что `Q(x)` - тоже можно построить как интерполяционный многочлен по пересчитанным значениям ...

Например, в случае двух точек, про который Вы спрашиваете, `f(x_0) = y_0, f'(x_0) = y_1, f(x_1) = y_2, f'(x_1)=y_3`....
Ищем полином в виде `p(x) = P(x) + (x - x_0)*(x - x_1)*Q(x)`...

По значениям в точках строим прямую `P(x) = y_0*{x - x_1}/{x_0 - x_1} + y_2*{x - x_0}/{x_1 - x_0}`...

Затем считаем производную от написанного представления... получаем равенства `y_1 = {y_0 - y_2}/{x_0 - x_1} + (x_0 - x_1)*Q(x_0)` и `y_3 = {y_0 - y_2}/{x_0 - x_1} + (x_1 - x_0)*Q(x_1)` ...

Выражаем `Q(x_0)` и `Q(x_1)` ... и строим прямую по этим значениям...

2017-02-12 в 09:23 

All_ex, спасибо, буду разбираться

2017-02-12 в 09:27 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome...

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная