23:49 

Конформные отображения. ТФКП

IWannaBeTheVeryBest
Область
`|z - 1| > 1`
`|z| < 2`
Надо отобразить с помощью функции `w = e^{2pi*i*(z/(z - 2))}`
Вообще, образы кривых и областей я обычно находил, решая в лоб. Просто записывал уравнения кривых в комплексной форме, потом выражал `z` через `w` и подставлял в уравнения кривых. Получал новые кривые. Если надо было отобразить область, ограниченную этими кривыми, то я еще брал точку из этой области и также смотрел, в какую точку она переходит, тем самым определяя куда перешла область.
Тут как-то решать в лоб не очень. Логарифмы будут вылезать и я не уверен, что в конце смогу сделать картинку области по полученным уравнениям кривых.
Почитал в учебниках, там показано, куда отображаются отрезки, полосы... А вот про окружности ничего не нашел. Как отображать окружности экспонентой?

@темы: ТФКП

Комментарии
2017-02-02 в 00:02 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Посмотрите куда отображается Ваша область дробно-линейной функцией из показателя степени... вроде в обоих случаях будет полуплоскость... Потом умножаете на `2*pi*i` - поворот и растяжение - снова полуплоскость... а потом смотрите куда полученную полуплоскость отображает экспонента...

2017-02-02 в 00:09 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Аааа... так это у Вас система из двух неравенств... :pom:
Ну, тогда дробно-линейная функция Вам полосу и даст...

2017-02-02 в 00:41 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Аа. То есть постепенно применять преобразование. Хмм... Интересно.
Ну предположим, что сначала надо отобразить первый круг. Ну может я слишком некорректно решаю...
`|z - 1| = 1`
В комплексной форме
`z*\overline(z) - z - \overline(z) = 0` (1)
Отображение `w = z/(z - 2)`
Обратное отображение
`z = (2w)/(w - 1)`
`\overline(z) = (2\overline(w))/(\overline(w) - 1)`
Подставляю в уравнение (1)
`(4w*\overline(w) - 2w(\overline(w) - 1) - 2*\overline(w)(w - 1))/((w - 1)(\overline(w) - 1)) = 0`
Отсюда у меня получилось, если я все верно подставил
`2(w + \overline(w)) = 0`
Ну в общем это просто нулевая действительная часть, то есть вся ось ординат. Верно?

2017-02-02 в 02:06 

IWannaBeTheVeryBest
Ну хорошо. Я подозреваю, что две окружности перейдут в прямые (это же возможно, ведь прямая - частный случай окружности). Потом мне нужно будет воспользоваться отображением
`w_1 = 2pi*iw`
ну короче домножением на `2pi * i`. Это, как я понимаю, растяжение в `2pi` раз и поворот на `pi/2`. Ну в общем просто повернуть прямую на `pi/2`. А че там с экспонентой то делать?

2017-02-02 в 02:43 

IWannaBeTheVeryBest
Аа, ну хотя там же просто каждый аргумент пропотенцировать нужно и все, насколько я понял.

2017-02-02 в 03:51 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
IWannaBeTheVeryBest, в общем всё так и есть...
Добавлю ещё пару слов...

Конечно, понять в явном виде что куда переходит это полезно... но на первых этапах изучения... дальше надо уже пользоваться какими-то общими фактами ...
То есть постепенно применять преобразование. - это абсолютно типовой приём при построении отображений ...
(При отображении области на область, когда надо найти саму функцию, так поступают постонно... сначала отображаем на что-то более типичное... затем ещё на более типичное... и так далее...)

Ваша область - это "лунка" (или асимметричное кольцо) ....
Окружности имеют одну общую точку `z = 2`, которую дробно линейное отображение переводит в бесконечность... следовательно, граница лунки будет переходить в две параллельные прямые...
Чтобы найти прямые не обязательно подставлять уравнение окружности и что-то преобразовывать... можно подставить две простые точки и посчитать...
Например, для первой окружности `z_1 = 0 to w_1 = 0, \ \ z_2 = 1 + i to w_2 = i` - то есть получаем мнимую ось... для второй окружности (в силу сделанного вывода о параллельности результата) достаточно одной точки - `z_3 = -2 to w_3 = 1/2`...
Итого, получили полосу, параллельную мнимой оси...

Дальше поворот и растяжение даёт полосу, параллельную действительной оси... `{xi = x + i*y \ | \ y in (0; pi) }` ...
`eta = e^{xi} = e^x * e^{i*y}`... то есть модуль искомых чисел - `e^x`, будет принимать любые значения... а аргумент искомых чисел `y in (0; pi)`... Итого, это верхняя полуплоскость...

2017-02-02 в 12:34 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Хмм, неплохо. Так действительно намного быстрее. Я пытался найти какие-то сведения про экспоненту, а оказывается тут было достаточно прочитать про дробно-линейное преобразование. А то, куда отображает экспонента полосы оказалось вполне достаточной информацией.
Спасибо, очень помогли))

2017-02-02 в 14:17 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome...

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная