20:29 

Можно ли так доказать?

1) Пусть `a_n` - ограниченная последовательность натуральных чисел ,`lim_(n -> infty) (a_1 * ... * a_n)^(1/n) = 1` . Найти `lim_(n -> infty) (a_1+...+a_n)/n`
Для начала докажем, что `lim_(n -> infty) (a_1 * ... * a_n)^(1/n) = lim_(n -> infty) a_n`. Для этого рассмотрим предел `lim_(n -> infty) ln(a_1 * ... * a_n)^(1/n) = lim_(n -> infty) (ln(a_1)+...+ln(a_n))/n`, по теореме Штольца он равен `lim_(n -> infty) ln(a_n)`. Применив теорему Штольца к пределу `lim_(n -> infty) (a_1+...+a_n)/n` получим, что он равен `lim_(n -> infty) a_n`, следовательно искомый предел равен 1.

2) Если `lim_(x -> infty) f(x) + f'(x) = a` , то `lim_(x -> infty) f(x) = a`, а `lim_(x -> infty) f'(x) = 0`. Доказать
Применив правило Лопиталя к пределу `lim_(x -> infty) (e^x * f(x)) / e^x` получим : `lim_(x -> infty) (e^x * f(x)) / e^x = lim_(x -> infty) (e^x * (f(x)+ f'(x))) / e^x = a`
Следовательно `lim_(x -> infty) f'(x) = 0` и `lim_(x -> infty) f(x) = a`

@темы: Пределы

Комментарии
2017-01-06 в 21:46 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
№1 - Для начала докажем, что `lim_(n -> infty) (a_1 * ... * a_n)^(1/n) = lim_(n -> infty) a_n`
А откуда следует, что `a_n` имеет предел?... :upset: ... она же просто ограниченная...

2017-01-06 в 22:00 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
№2 - Применив правило Лопиталя к пределу `lim_(x -> infty) (e^x * f(x)) / e^x`
Красиво придумано... осталось доказать, что есть неопределённость...

2017-01-06 в 22:03 

All_ex, №1 Спасибо.

2017-01-06 в 22:10 

All_ex, Вообще в доказательстве к теореме о применении правила Лопиталя к пределам вида `infty/infty` в Фихтенгольце, ничего не сказано про то, что числитель должен стремиться к бесконечности, хотя в самой теореме про это говориться (может потому что в обратном случае ответ очевиден?).

2017-01-06 в 22:23 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
cube in cube, Вообще в доказательстве к теореме о применении правила Лопиталя к пределам вида `infty/infty` в Фихтенгольце, ничего не сказано про то, что числитель должен стремиться к бесконечности, хотя в самой теореме про это говориться
Ну, это условие в доказательстве неявно мешает применять какие-то более быстрые действия... но проверять его надо, иначе правило Лопиталя не работает, чему есть масса примеров...

2017-01-06 в 22:39 

All_ex, то есть для предела `lim_(x -> infty) (e^x * f(x))/e^x` необходимо показать, что предел `f(x)` на бесконечности существует и отличен от нуля? И можно пример когда не получится применить правило Лопиталя, а то у меня что-то не получается составить такой, где предел производных бы существовал.

2017-01-06 в 22:46 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
необходимо показать, что предел `f(x)` на бесконечности существует и отличен от нуля?
Ну, если Вы хотите оставить правило Лопиталя, то надо доказывать, что произведение `f(x)*e^x` имеет бесконечный предел...

2017-01-06 в 23:32 

All_ex, Понятно

2017-01-06 в 23:49 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome...

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная