Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
13:26 

Привести матрицу к диагональному виду

IWannaBeTheVeryBest
Я тут решил вспомнить немного материал из прошлого. Как привести матрицу к диагональному виду? Ну скажем такую
`A = ` $\left(\begin{array}{c c}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right)$
Пусть передо мной задача найти n-тую степень матрицы. Очевидно, ее надо привести к диагональному виду и возвести каждый элемент на диагонали в n-тую степень. Можно использовать алгоритм приведения ее к Жордановой форме. Но почему ее нельзя свести к диагональному виду путем элементарных преобразований строк? Скажем, если `L_n` - это n - тая строка, то `L_2 - 3*L_1` и затем `L_1 + L_2`? И будет матрица
`A' = ` $\left(\begin{array}{c c}1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array}\right)$
В чем подвох? Я похоже не понимаю, что такое диагональный вид матрицы :D

@темы: Линейная алгебра

Комментарии
2016-12-21 в 14:25 

Alidoro
Матрицу надо приводить к диагональному виду специальным образом, так чтобы было `A=T^(-1)A'T.` А иначе как же вы будете возводить A в степень? Матрицы T не будут уничтожаться.

2016-12-21 в 14:32 

IWannaBeTheVeryBest
Матрицу надо приводить к диагональному виду специальным образом
Разве в моем случае матрица `A'` не является уже диагональным видом матрицы `A`? Почему надо приводить именно специальным образом, а не вот такими элементарными преобразованиями над строками? Мне явно надо почитать какую-то литературку))

2016-12-21 в 14:59 

Alidoro
Я написал почему. Чтобы сокращались радом стоящие`T` и `T^(-1)` при возведении в степень. А иначе вот это становится неверным
Очевидно, ее надо привести к диагональному виду и возвести каждый элемент на диагонали в n-тую степень.
Как вы будете доказывать эту очевидность?

2016-12-22 в 21:20 

IWannaBeTheVeryBest
Alidoro, Ну хорошо. А если не стоит вопрос возводить в степень? Чем тогда отличается диагональный вид матрицы `A'` от диагонального вида матрицы `A`, после приведения ее к Жордановой форме? Просто есть же даже какие-то критерии приводимости матрицы к диагональному виду. А такими простыми преобразованиями я вроде как могу любую матрицу привести к диагональному виду, нет?

2016-12-22 в 21:21 

IWannaBeTheVeryBest
Alidoro, Ну хорошо. А если не стоит вопрос возводить в степень? Чем тогда отличается диагональный вид матрицы `A'` от диагонального вида матрицы `A`, после приведения ее к Жордановой форме? Просто есть же даже какие-то критерии приводимости матрицы к диагональному виду. А такими простыми преобразованиями я вроде как могу любую матрицу привести к диагональному виду, нет?

2016-12-22 в 21:36 

Alidoro
Когда вы решаете систему линейных уравнений, тогда можете приводить первым способом. Вы же можете доказать теорему, что переходите к равносильной системе. Второй случай, это когда ваша матрица - запись в матричном виде другого объекта - линейного оператора. Переход к другой матрице это запись в другом базисе того же самого оператора. То есть вы подбираете базис, чтобы матрица оператора имела простой вид.

2016-12-22 в 21:46 

IWannaBeTheVeryBest
Alidoro, аа понял. Для каждой задачи/случая нужно по разному приводить к диагональному виду. Хорошо, спасибо))

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная