16:29 

Метод Фурье. Уравнения математической физики.

Доброго дня всем!
Застрял на решении начально-граничной задачи.
Помогите развеять недопонимание.
Имеется следующая задача:

`u_t - u = u_x_x +xt(2-t)+2cost, 0 < x < pi, t > 0`
`u(x,0) = cos(2x)`
`u_x (0,t) = t^2`
`u_x (pi, t) = t^2`

Избавимся от неоднородности граничных условий:
`u = v+w,` где `w = xt^2`
Тогда исходная задача сведется к следующей:
`v_t - v = v_x_x + 2cost`
`v(x,0) = cos2x`
`v_x(0,t) = 0`
`v_x(pi,t) = 0`

Эту задачу средуцируем на две следующие:

`v = y + z`

`y:`
`y_t - y = y_x_x + 2cost`
`y(x,0) = 0`
`y_x(0, t) = 0`
`y_x(pi,t) = 0`


`z:`
`z_t - z = z_x_x`
`z(x, 0) = cos2x`
`z_x(0,t) = 0`
`z_x(pi, t) = 0`

Решим задачу для `z`:

`z = X(x)T(t)`
Тогда получим:
`(T')/ T - 1 = (X'')/ X = -lambda`
Отсюда получим спектральную задачу Штурма-Лиувиля:
`X'' + lambdaX = 0`
`X'(0) = 0`
`X'(pi) = 0`
решив которую получим, что:
`lambda_0 = 0, X_0 = 1`
`lambda_n = n^2, X_n = cosnx`

Тогда для `lambda_0 = 0` уравнение для `T`:
`T_0 = C_0 * e^t`
А для `lambda_n = n^2`:
`T_n = C_n * e^(1-n^2)`
А тогда:
`z = C_0 * e^t + sum_(n=1)^(oo) (C_n * e^((1-n^2)*t) * cosnx)`
Отсюда, вспоминая ряд Фурье, получаем, что:
`C_0 = 0`
`C_n = 1, n=2`
`C_n = 0, n !=2`
А тогда:
`z = e^(-3t)*cos2x`
И вот тут первый вопрос: я `C_0` правильно посчитал???

Вернемся к задаче для `y`:
`y = sum_(n=1)^(oo) (G_n(t)*cosnx)`
Тогда, подставив это выражение в уравнение:
`sum_(n=1)^(oo) (G'_n + (n^2-1)*G_n)*cosnx = 2*cost`
Тогда:
`2cost = sum_(n=1)^(oo) k_n*cosnx`
А тогда:
`k_n = (2 / (pi*n)) * int_0^pi (2cost*cosnx)dx = 0`
Вот это меня сильно смущает, что `k_n = 0`!
Где я ошибся, скажите, пожалуйста?

@темы: Уравнения мат. физики

Комментарии
2016-12-18 в 19:38 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
И вот тут первый вопрос: я `C_0` правильно посчитал???
А что смущает?... :upset:


Вернемся к задаче для y: `y = sum_(n=1)^(oo) (G_n(t)*cosnx)`
сумма должна быть с нуля...

Тогда: `2cost = sum_(n=1)^(oo) k_n*cosnx`
зачем это Вы функцию от `t` так раскладываете по иксам?... до этого Вы так изящно вспомнили про ряд Фурье... теперь то же самое (если не забудете про константу в этом ряде)...

2016-12-18 в 20:51 

А что смущает?...
Стал замечать, что после курса обыкновенных дифференциальных уравнений равенство нулю коэффициентов стало сильно смущать...

зачем это Вы функцию от так раскладываете по иксам?...
Действительно, весьма бредово звучит, но я что-то не очень представляю, как тогда `cost` раскладывать, ведь мне надо в равенстве, где `G'_n`, справа получить такое же разложение по собственным функциям, чтобы потом получить неоднородное дифференциальное уравнения для `G_n`. Видимо, мои воспоминания о ряде Фурье не такие уж и изящные...

2016-12-19 в 00:20 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
но я что-то не очень представляю, как тогда `cost`
константа у Вас входит в состав собственных функций... то есть в набор функций разложения в ряд Фурье...
в первом уравнении Вы писали, что Отсюда, вспоминая ряд Фурье, получаем, что:`C_0 = 0`... а во втором уравнении про `G_0(t)` забыли...

2016-12-19 в 06:54 

Доброе Утро!
Тогда для `G_0 (t)` получим следующее уравнение:
`G'_0 - G_0 = 2cos(t)`
и его решение с учетом начальных условий по `t`:
`G_0 = e^t + sin(t) - cos(t)`
так?
Но тогда у меня еще есть и `G_2 (t)`. И для него уравнение:
`(G'_2 + 3*G_2)*cos(2x) = 2*cos(t)`
И тут вылез косинус по иксу. Относиться к нему как к константе?
Или я снова несу бред?

2016-12-19 в 10:26 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Но тогда у меня еще есть и `G_2 (t)`. И для него уравнение: `(G'_2 + 3*G_2)*cos(2x) = 2*cos(t)`
Откуда взялся косинус в правой части?...

У Вас есть уравнение `y_t - y = y_{x x} + f(x;t)`... Решение этого уравнения Вы ищите в виде ` y = sum_{n = 0}^{infty} G_n(t)*cos(n*x)`... при этом правую часть тоже раскладываете по иксам в ряд `f(x;t) = sum_{n = 0}^{infty} F_n(t)*cos(n*x)`...
Тогда для коэффициентов искомой функции получаете уравнение `G_n' - G_n = -n^2*G_n + F_n`...
Это в общем случае... а теперь про Вашу правую часть...
Понятно, что поскольку функция зависит только от `t`, то разложение имеет вид `2*cos(t) = 2*cos(t) * 1 + 0*cos(x) + 0*cos(2x) + ...` ...
Про получение этих нулевых коэффициентов Вы и спрашивали изначально... и я Вам изначально сказал, что Вы просто забыли про первое слагаемое разложения, которое будет единственным ненулевым в этом случае...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная