16:29 

Метод Фурье. Уравнения математической физики.

Доброго дня всем!
Застрял на решении начально-граничной задачи.
Помогите развеять недопонимание.
Имеется следующая задача:

`u_t - u = u_x_x +xt(2-t)+2cost, 0 < x < pi, t > 0`
`u(x,0) = cos(2x)`
`u_x (0,t) = t^2`
`u_x (pi, t) = t^2`

Решение
Где я ошибся, скажите, пожалуйста?

@темы: Уравнения мат. физики

Комментарии
2016-12-18 в 19:38 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
И вот тут первый вопрос: я `C_0` правильно посчитал???
А что смущает?... :upset:


Вернемся к задаче для y: `y = sum_(n=1)^(oo) (G_n(t)*cosnx)`
сумма должна быть с нуля...

Тогда: `2cost = sum_(n=1)^(oo) k_n*cosnx`
зачем это Вы функцию от `t` так раскладываете по иксам?... до этого Вы так изящно вспомнили про ряд Фурье... теперь то же самое (если не забудете про константу в этом ряде)...

2016-12-18 в 20:51 

А что смущает?...
Стал замечать, что после курса обыкновенных дифференциальных уравнений равенство нулю коэффициентов стало сильно смущать...

зачем это Вы функцию от так раскладываете по иксам?...
Действительно, весьма бредово звучит, но я что-то не очень представляю, как тогда `cost` раскладывать, ведь мне надо в равенстве, где `G'_n`, справа получить такое же разложение по собственным функциям, чтобы потом получить неоднородное дифференциальное уравнения для `G_n`. Видимо, мои воспоминания о ряде Фурье не такие уж и изящные...

2016-12-19 в 00:20 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
но я что-то не очень представляю, как тогда `cost`
константа у Вас входит в состав собственных функций... то есть в набор функций разложения в ряд Фурье...
в первом уравнении Вы писали, что Отсюда, вспоминая ряд Фурье, получаем, что:`C_0 = 0`... а во втором уравнении про `G_0(t)` забыли...

2016-12-19 в 06:54 

Доброе Утро!
Тогда для `G_0 (t)` получим следующее уравнение:
`G'_0 - G_0 = 2cos(t)`
и его решение с учетом начальных условий по `t`:
`G_0 = e^t + sin(t) - cos(t)`
так?
Но тогда у меня еще есть и `G_2 (t)`. И для него уравнение:
`(G'_2 + 3*G_2)*cos(2x) = 2*cos(t)`
И тут вылез косинус по иксу. Относиться к нему как к константе?
Или я снова несу бред?

2016-12-19 в 10:26 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Но тогда у меня еще есть и `G_2 (t)`. И для него уравнение: `(G'_2 + 3*G_2)*cos(2x) = 2*cos(t)`
Откуда взялся косинус в правой части?...

У Вас есть уравнение `y_t - y = y_{x x} + f(x;t)`... Решение этого уравнения Вы ищите в виде ` y = sum_{n = 0}^{infty} G_n(t)*cos(n*x)`... при этом правую часть тоже раскладываете по иксам в ряд `f(x;t) = sum_{n = 0}^{infty} F_n(t)*cos(n*x)`...
Тогда для коэффициентов искомой функции получаете уравнение `G_n' - G_n = -n^2*G_n + F_n`...
Это в общем случае... а теперь про Вашу правую часть...
Понятно, что поскольку функция зависит только от `t`, то разложение имеет вид `2*cos(t) = 2*cos(t) * 1 + 0*cos(x) + 0*cos(2x) + ...` ...
Про получение этих нулевых коэффициентов Вы и спрашивали изначально... и я Вам изначально сказал, что Вы просто забыли про первое слагаемое разложения, которое будет единственным ненулевым в этом случае...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная