22:56 

Решение волнового уравнения

IWannaBeTheVeryBest
Не могу найти, как решить уравнение с условиями
`9u_{t t} = u_{x x}`
`u_x(0, t) = u_x(2, t) = 0`
`u(x, 0) = x, 0<=x<=1; u(x, 0) = 1, 1<=x<=2`
`u_t(x, 0) = 0`
Везде, что я только не смотрел, везде рассматриваются примеры, где во втором условии данной системы фигурируют сами функции `u`, а не их производные. Вообще не знаю, что с ними делать.

@темы: Дифференциальные уравнения, Уравнения мат. физики

Комментарии
2016-12-17 в 08:42 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Ну, если в учебнике сказано как бороться с вторым краевым условием на одном конце, то можно тоже самое сделать и для второго конца...
Боюсь ошибиться по памяти, но там вроде чётное продолжение используют... приду домой посмотрю точнее...

2016-12-17 в 12:01 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Да, действительно.
Из начальных условий
`u(x, 0) = \phi(x) = \Phi(x)`
`u_t(x, 0) = \psi(x) = \Psi(x) = 0`
дальше предлагается искать решение в виде
`u(x, t) = (\Phi(x + at) + \Phi(x - at))/2 + 1/(2a) * int_{x - at}^{x + at} \Psi(s) ds` (1)
в моем случае `a = 1/3`
Затем нужно наложить требования четности на функции `\Phi` и `\Psi` относительно `x = 0` и `x = 2`. Насколько я понял, это
`\Phi(x) = \Phi(-x)` и `\Phi(x) = \Phi(4 - x)`
Ну а `\Psi(x) = 0` просто. Поэтому определенный интеграл тоже будет равен нулю.
Дальше просят подставить в формулу (1) и получить решение. Я не понял, что тут надо подставлять. Вернее понимаю, что это как-то связано с тем, что я накладывал требования четности, но смысл в формулу, скажем вместо `\Phi(x + at)` подставлять `Phi(-x - at)`, или вместо `Phi(x - at)` подставлять `Phi(-x + at + 4)`, если это все равно одно и то же? Или я что-то не понял? Да к тому же, если я верно понимаю, надо рассматривать 2 случая - `x \in [0; 1]` и `x \in [1;2]`, так как функция у меня на разных промежутках разная.

2016-12-17 в 15:53 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Кстати... а метод Фурье Вас не устроит?... :upset:

2016-12-17 в 16:15 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, устроит конечно, только я его видел только для случая, когда струна закреплена на двух концах. Ну то есть второе условие в системе не содержит производных.

2016-12-17 в 16:42 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, ну давайте я попробую сейчас расписать решение по методу Фурье. Если что, то поправите.

2016-12-17 в 17:10 

IWannaBeTheVeryBest
Ищем решение в виде
`U(x, t) = X(x) * T(t)`
Подставляем в наше уравнение
`9*X(x) * T''(t) = X''(x) * T(t)`
`(9*T'')/T = (X'')/X = \lambda`
Составим систему из двух уравнений
`X'' - \lambda * X = 0`
`9T'' - \lambda * T = 0`
Здесь
`X \neq 0` и `T \neq 0`
`U_x(0, t) = X'(0) * T(t) = 0`
`U_x(2, t) = X'(2) * T(t) = 0`
Теперь у нас появилось условие
`X'(0) = X'(2) = 0`
То есть надо решить систему
`X'' - \lambda * X = 0`
`X'(0) = X'(2) = 0`
Составляем характеристическое уравнение
`\widetilde{X}^2 - \lambda = 0`
`\widetilde{X} = +-sqrt(\lambda)`
1)` \lambda > 0`
`X = C_1 * e^{sqrt(\lambda)x} + C_2 * e^{-sqrt(\lambda)x}`
`X'(0) = sqrt(\lambda)(C_1 - C_2) = 0 => C_1 = C_2`
`X'(2) = C_1 * sqrt(\lambda)(e^(2sqrt(\lambda)) - e^(-2sqrt(\lambda))) => C_1 = 0 => X = 0`, но `X \neq 0`
2) `\lambda = 0`
`X = C_1 + x*C_2`
`X'(0) = C_2 = 0`
`C_1 = C => X = C`
3) `\lambda < 0`
`X = C_1*cos(sqrt(\lambda)x) + C_2*sin(sqrt(\lambda)x)`
`X'(0) = C_2*sqrt(\lambda) = 0 => C_2 = 0`
`X'(2) = -C_1*sqrt(\lambda) * sin(2sqrt(\lambda)) = 0 => sin(2sqrt(\lambda)) = 0`
`sin(2sqrt(\lambda)) = 0 => \lambda_k = (pi*k)^2/4; k \in Z`
`X_k = cos((pi*k)/2) + C`
Дальше ищем `T(t)`. Пока верно?

2016-12-17 в 20:14 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
только я его видел только для случая, когда струна закреплена на двух концах. Ну то есть второе условие в системе не содержит производных.
В общем случае оно выписывается для третьего краевого условия, которое обобщает значения функции и значения производных...

Пока верно?
`X_k = cos((pi*k)/2) + C` - не понял этой записи... :upset:

2016-12-17 в 20:40 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Про метод отражения не могу найти... ведь видел где-то... :upset:

2016-12-17 в 20:56 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, не понял этой записи...
Вернее так
`X_k = cos((pi * k)/2x) + C`
Насчет добавления константы я не уверен. Просто во втором случае у нас получилось, что `X = C`. Хотя может это не значит, что нужно прибавлять константу. Ну я просто посчитал, что общее решение можно записать как сумму решений в этих трех случаях.
Про метод отражения не могу найти...
Я видел метод продолжений. И метод Даламбера еще. Еще он называется методом бегущих волн или методом характеристик.

2016-12-18 в 11:30 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Вернее так
`X_k = cos((pi * k)/2x) + C`

Аааа... вон Вы о чём...
Конечно такая запись неверна... просто у Вас есть разные собственные числа, которым соответствуют косинусы.. и есть нулевое число, которому соответствует константа...
Теперь рассматривайте соответствующие уравнение относительно `T_k(t)`...

2016-12-18 в 12:36 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Хорошо. Значит
`\widetilde{T}^2 = 1/9 \lambda`
`\widetilde{T} = +-sqrt(\lambda)/3`
1) `\lambda = 0`
`T = C_1 + C_2 * t`
2) `\lambda < 0`
`T_k = A_k*cos((pi*k)^2/4x) + B_k * sin((pi*k)^2/4x)`
Я так понимаю, в первом случае решение
`u = C*(C_1 + C_2 * t)`?
Во втором тогда
`u = sum_{n = 1}^{\infty} (A_k*cos((pi*k)^2/4t) + B_k * sin((pi*k)^2/4t)) * cos((pi*k)/2x)`
Ну еще надо найти `A_k` и `B_k`, что пока не ясно как сделать. Хотя тут вроде просто нужно сказать, что наша функция `u(x, 0)` разложима в ряд Фурье и тогда эти коэффициенты найдутся, как суммы двух интегралов от 0 до 1 и от 1 до 2. Ну исходя из начальных условий `u(x, 0)` и `u_t(x, 0)`. Вроде как коэффициент `B_k` будет равен 0.

2016-12-18 в 12:47 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Это не отдельные случаи... это слагаемые одной суммы...

Ну еще надо найти `A_k` и `B_k`, что пока не ясно как сделать
Раскладывайте начальные данные по собственным функциям...

2016-12-18 в 13:19 

IWannaBeTheVeryBest
Я там сверху наошибался. Неверно написал решение, для `\lambda < 0`, когда искал `T(t)`.
Значит общий ответ будет такой
`u = sum_{k = 1}^{\infty} (A_k cos((pi*k)/6t) + B_k sin((pi*k)/6t))*cos((pi*k)/2x) + C(C_1 + C_2t)`
где
`A_k = 2/l * int_{0}^{l} \phi(x) cos((pi*k*x)/l) dx = int_{0}^{1} xcos((pi*k*x)/2) dx + int_{1}^{2} cos((pi*k*x)/2) dx`
`B_k = 0`?

2016-12-18 в 19:21 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
`... + C(C_1 + C_2t)` - ну, `C` перед скобкой не обязательно писать...

где
`A_k = 2/l * int_{0}^{l} \phi(x) cos((pi*k*x)/l) dx = int_{0}^{1} xcos((pi*k*x)/2) dx + int_{1}^{2} cos((pi*k*x)/2) dx`
`B_k = 0`?

похоже на правду... только про `C_1` и `C_2` забыли...

2016-12-18 в 20:12 

IWannaBeTheVeryBest
Хорошо, понял. Спасибо))

2016-12-18 в 20:41 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome...

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная