17:38 

Доказать утверждение

Даны две пересекающиеся не взаимно перпендикулярные прямые `A_1x+B_1y+C_1 = 0, A_2x+B_2y+C_2 = 0`Доказать, что угол между векторами `n_1 = (A_1,B_1), n_2 = (A_2,B_2)` равен тому из углов между данными прямыми, внутри которого лежат точки, принадлежащие полуплоскостям, определяемым данными прямыми, для координат точек которых левые части данных уравнений имеют противоположные знаки.

Вектор нормали, составленный из коэффициентов уравнения прямой всегда направлен в положительную полуплоскость, относительно этой прямой. Но как строго доказать, то что требуется?

@темы: Аналитическая геометрия

Комментарии
2016-12-15 в 20:59 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Ну, картинку нарисовать, например... или этого не достаточно?...

2016-12-19 в 16:40 

All_ex, не знаю, возможно надо как-то доказать что угол между этими векторами равен именно "нужному",а не смежному?
Задание одно из зачетных, поэтому нет возможности узнать, достаточно ли картинки.

2016-12-19 в 17:36 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Уравнение прямой можно записать в виде `n_k*M + c_k = 0`, где `n_k = (a_k; b_k)` - нормальный вектор, `M(x;y)` некоторая точка...
На плоскости по нормальному вектору легко выписать координаты направляющего вектора (надеюсь знаете как это сделать)...
Пусть `m_1` и `m_2` - направляющие векторы, между которыми угол равен углу между нормалями...
Обозначим через `P` - точку пересечения прямых... тогда точка `M = P + m_1 + m_2` будет лежать в интересующей нас части плоскости...
Осталось проверить, что при подстановки этой точки в уравнение получим значения разного знака... проверяется подстановкой в явном виде...

2016-12-19 в 19:01 

All_ex, `n_1 = (a_1; b_1)`, `n_2 = (a_2; b_2)`
Угол между нормалями равен углу между `m_1 = (b_1; -a_1)`, `n_2 = (b_2; -a_2)` (их косинусы равны)
Точка P имеет координаты:
`P = ((c_2*b_1-c_1*b_2)/(a_1*b_2-a_2*b_1);(c_2*a_1-c_1*a_2)/(a_1*b_2-a_2*b_1))` (Из метода Крамера)
`M = P + m_1 + m_2 = ((c_2*b_1-c_1*b_2)/(a_1*b_2-a_2*b_1)+b_1+b_2;(c_2*a_1-c_1*a_2)/(a_1*b_2-a_2*b_1)-a_1-a_2)`
Верно?
Просто если подставить данное выражение, там не сократится часть и не останутся например только квадраты, чтобы можно было сказать, что их сумма положительна...

2016-12-19 в 19:30 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
не останутся например только квадраты, чтобы можно было сказать, что их сумма положительна...
Вам не надо смотреть на положительность... Вам важно, что подстановка в разные уравнения даст разные знаки...
Я подставлял всё в векторной форме и к координатам векторов возвращался только после всех упрощений... должно получится некое число при подстановке в одно уравнение и оно же с противоположным знаком - при подстановке в другое...

2016-12-20 в 16:24 

All_ex, All_ex, извините, что спрашиваю, уже даже как-то неловко, но хочется понять...
`(n_1,M)+c1 = (n_1,P)+(n_1,m_2)+c_1` - первое уравнение
`(n_2,M)+c2 = (n_2,P)+(n_1,m_2)+c_2`-второе уравнение
Понятно, что `(n_1,m_2) = - (n_2,m_1)`.
Значит нам остается доказать, что `(n_1,P)+c_1=-((n_2,P)+c_2)`
Приводим к общему знаменателю, получаем числитель левой части
`a_1c_2b_1-a_1c_1b_2+b_1c_2a_1-b_1c_1a_2+c_1a_1b_2-c_1a_2b_1`
Справа: `a_2c_2b_1-a_2c_1b_2+b_2c_2a_1-b_2c_1a_2+c_2a_1b_2-c_2a_2b_1`
Но ведь они не противоположны

2016-12-20 в 18:16 

All_ex, все спасибо, получилось)

2016-12-20 в 18:40 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Значит нам остается доказать, что - они равны нулю...
все спасибо, получилось) - ну, и славно...

welcome...

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная