21:10 

Интегрирование функции КП. Вычеты

IWannaBeTheVeryBest
`int_{0}^{+\infty} x^(p - 1) cos(ax) dx` `0 < p < 1`
В задачнике сказано использовать этот контур:

и функцию `f(z) = z^(p - 1) * e^(-az)`
Не понимаю, с какой логикой выбирается контур. Их нужно запоминать отдельно для каждой задачи? Да и функция какая-то странная.
Ну для начала, по логике, надо разобраться с интегралом по всему контуру `\Gamma`. Он будет равен 0, так как в контуре особых точек нет.
Потом разбираемся с интегралом `int_{C_R} z^(p - 1) * e^(-az) dz`. Проведем оценку
`|int_{C_R} z^(p - 1) * e^(-az) dz| <= int_{C_R} |z^(p - 1)| * |e^(-az)| |dz| <= A*1/(R^(1 - p))*1/(e^(R)) * (piR)/2 -> 0 (R -> +\infty)`
Дальше разбираемся с суммой интегралов по отрезкам.
`int_{r}^{R} x^(p - 1) cos(ax) dx + int_{R}^{r} y^(p - 1) cos(ay) dy`
Тут пока точно не знаю, что делать. Верно ли записал эту сумму?
`int_{C_r} z^(p - 1) * e^(-az) dz = int_{C_r} (e^(-az) - 1)/(z^(1 - p))dz + int_{C_r} (dz)/(z^(1 - p))`
Первое слагаемое должно стремиться к 0. Но, если не ошибаюсь, то тут и второе слагаемое к 0 стремится. По аналогии если сделать оценку
`|int_{C_r} (dz)/(z^(1 - p))| <= int_{C_r} |dz|/|(z^(1 - p))| <= A * (pir)/2 * (1/r^\xi) -> 0 (r ->0; \xi < 1)`

@темы: ТФКП

Комментарии
2016-11-28 в 10:30 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
`p` - целое?...

2016-11-28 в 11:40 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Ой извините, не указал. `0<p<1`.

2016-11-28 в 11:42 

IWannaBeTheVeryBest
Чето у меня все слетело. Хотел добавить в начале это условие и половина стерлась. Сейчас попробую пофиксить.

2016-11-28 в 11:55 

IWannaBeTheVeryBest
Восстановил примерно. Оказывается тут небольшой баг с написанием "0<p<1" и видимо только в самом вопросе. нужно обязательно было написать "0 < p < 1", хоть и все пробелы пропускаются.

2016-11-28 в 13:31 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Оказывается тут небольшой баг с написанием
это известный казус... знаки неравенства воспринимаются как теги и в результате текст исчезает... да, пробелы помогают... )))

2016-11-28 в 13:36 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Касаемо решения. Я там сумму интегралов неверно расписал. Там же экспонента должна быть, а не косинусы
`int_{r}^{R} x^(p - 1) * e^(-ax) dx + int_{R}^{r} y^(p - 1) * e^(-ay) dy`
Вот, учитывая стремление пределов интегрирования, это очень похоже на гамма функцию. Пока точно не знаю, может ли это помочь...

2016-11-28 в 13:40 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Не понимаю, с какой логикой выбирается контур. Их нужно запоминать отдельно для каждой задачи?
Типовых контуров не так много...
Обычно контур состоит из кусков, по которым можно вычислять или оценивать интеграл...


Первое слагаемое должно стремиться к 0. Но, если не ошибаюсь, то тут и второе слагаемое к 0 стремится
Ну, это можно было без лишних телодвижений оценивать всё сразу... )))


Дальше разбираемся с суммой интегралов по отрезкам.
По-моему, тут у Вас "косяк"...

2016-11-28 в 13:54 

IWannaBeTheVeryBest
По-моему, тут у Вас "косяк"...
Да, я пофиксил выше
`int_{r}^{R} x^(p - 1) * e^(-ax) dx + int_{R}^{r} y^(p - 1) * e^(-ay) dy`
Или это тоже неверно?)

2016-11-28 в 17:12 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Или это тоже неверно?)
Очевидно, что нет... у Вас же не возникает исходный интеграл из условия...
Исправляйте второе слагаемое...

2016-11-28 в 18:05 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex,
`int_{iR}^{ir} z^(p - 1) e^(-az) dz`
Ну вот тут, если перейти к замене `z = iz` вроде как действительная часть получающегося интеграла будет являться исходным интегралом.

2016-11-28 в 18:50 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Ну вот тут, если перейти к замене `z = iz` - новая переменная какая-то странная получается... )))

2016-11-28 в 19:17 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Меня просто напрягает немного мнимость в пределах интегрирования и то, что у экспоненты нет `i` в степени, откуда мы могли бы получить косинус.

2016-11-28 в 19:20 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Меня просто напрягает немного мнимость в пределах интегрирования и то, что у экспоненты нет `i` в степени, откуда мы могли бы получить косинус.
Ну, после замены первого не будет, а второе - появится... :alles:

2016-11-28 в 19:24 

IWannaBeTheVeryBest
Ну, после замены первого не будет, а второе - появится...
так это же хорошо :D Я просто не совсем понимаю. Вы намекаете, что замена должна быть другой?)

2016-11-28 в 19:32 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Я просто не совсем понимаю. Вы намекаете, что замена должна быть другой?)
буква должна быть... :alles:

2016-11-28 в 19:54 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, ну пусть будет `z = iy`. В этом случае у нас получится так
`int_{r}^{R} x^(p - 1) e^(-ax) dx - i^p*int_{r}^{R} y^(p - 1) e^(-iay) dy`. Как-то так. Теперь надо решить, если я правильно понимаю, уравнение
`int_{r}^{R} x^(p - 1) e^(-ax) dx - i^p*int_{r}^{R} y^(p - 1) e^(-iay) dy = 0`
`i^p*int_{r}^{R} y^(p - 1) e^(-iay) dy = int_{r}^{R} x^(p - 1) e^(-ax) dx`
`int_{r}^{R} y^(p - 1) e^(-iay) dy = i^(-p) * int_{r}^{R} x^(p - 1) e^(-ax) dx`
`I = Re(int_{r}^{R} y^(p - 1) e^(-iay) dy) = Re(i^(-p) * int_{r}^{R} x^(p - 1) e^(-ax) dx)`
Ну еще `int_{r}^{R} x^(p - 1) e^(-ax) dx` можно к гамма функции свести. Примерно так?

2016-11-28 в 20:12 

IWannaBeTheVeryBest
буква не очень удачно выбрана.

2016-11-28 в 20:16 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
можно к гамма функции свести. Примерно так?
Ну, к пределу надо переходить... и конечно гамма функция появится... а действительную часть надо будет брать только от `i^{-p}`...

2016-11-28 в 20:25 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Да. Только там еще константа `a` должна вылезть, ведь в гамма функции в экспоненте нет никаких констант. Поэтому придется наверняка сделать замену типа
`ax = t`

2016-11-28 в 20:29 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Поэтому придется наверняка сделать замену типа `ax = t`
Ну, не страшная замена... :alles:

2016-11-28 в 20:49 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Все дорешал)) С ответом сошлось. Спасибо за помощь))
Чисто формально допишу решение
`ax = t`
`Re(1/((ai)^p) * int_{r}^{R} t^(p - 1) e^(-t) dt)|_{R->+\infty;r->0} = \Gamma(p) * Re(1/((ai)^p))`
`i^(-p) = e^(-pLn(i)) = e^(i(-p*pi/2)) = cos(ppi/2) - isin(ppi/2)`
`\Gamma(p) * Re(1/((ai)^p)) = \Gamma(p) * Re((cos(ppi/2) - isin(ppi/2))/(a^p)) = \Gamma(p) * cos(ppi/2)/(a^p)`

2016-11-28 в 21:00 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome ...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная