14:55 

Интегрирование функции КП. Вычеты

IWannaBeTheVeryBest
`int_{0}^{+\infty} (cos(ax) - cos(bx))/(x^2)dx` `a>=0;` `b>=0`
Рассматривать нужно функцию `f(z) = (e^{iaz} - e^{ibz})/(z^2)`.
У меня тут только один вопрос. Как вот это проинтегрировать
`int_{C_r} (e^{iaz} - e^{ibz})/(z^2) dz`? r - радиус внутреннего полукруга, `r->0`
Не могу понять, каким образом выделить тут `1/z`?
Ну можно конечно как-то так пытаться `((z + 1)(e^(iaz) - e^(ibz)))/(z^2) - (e^(iaz) - e^(ibz))/z`, но мне кажется это ни к чему не ведет.

@темы: ТФКП

Комментарии
2016-11-27 в 15:34 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Разложить экспоненты в ряд не пробовали?... :alles:

2016-11-27 в 16:16 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Получится, если я верно разложил
`sum_{n = 0}^{\infty}(i^n(a - b)^n)/(n!) int_{C_r} z^(n - 2) dz`
Отсюда можно что-то выудить? Просто тут как не делал замену - все время вылезает `r`, который стремится к 0.

2016-11-27 в 16:41 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Получится, если я верно разложил
Неверно разложили... откуда взялось `(a - b)^n`?... :upset:

2016-11-27 в 16:44 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, `e^(iaz) = sum_{n = 0}^{\infty} (iaz)^n/(n!)`
По аналогии с функцией действительной переменной
`e^x = sum_{n = 0}^{\infty} x^n/(n!)`
Или так нельзя делать? Или там все равно не получается `(a - b)^n`?

2016-11-27 в 16:45 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
ну, `a^n - b^n` не равно `(a - b)^n`... :nope:

2016-11-27 в 16:48 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Аа да точно. Это я все в уме пытаюсь сделать.
Ну тогда `sum_{n = 0}^{\infty} (i^n(a^n - b^n))/(n!) * int_{C_r} z^(n - 2) dz`

2016-11-27 в 17:02 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Ну, оно так... хотя Вас интересует только выделение слагаемого `A/z` ....

2016-11-27 в 17:10 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Это слагаемое при `n = 1`
`i(a - b)int_{C_r}(dz)/z = (a - b)int_{0}^{pi} d\phi = pi(a - b)`
А другие слагаемые гарантированно будут нулями, так как там вылезает `r` везде?

2016-11-28 в 10:22 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
А другие слагаемые гарантированно будут нулями, так как там вылезает `r` везде?
Можно и так... а можно их все объединить в одну регулярную функцию...

2016-11-28 в 10:29 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Открыл Сидорова. Федорюка, Шабунина... стр 235, пример 6 - в точности Ваш пример...

2016-11-28 в 11:39 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Да, я забыл это указать. Просто там по поводу этого интеграла сказано, что-то типа "можно показать, как и в примере 5, что он стремится к `pi(a - b)`". А подробно не сказано. Ладно, спасибо)

2016-11-28 в 13:33 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
А подробно не сказано. - ну, первые слагаемые разложения интересуют... :nope:

Ладно, спасибо) - welcome...

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная