13:12 

Оценить снизу функцию

Здравствуйте! Появился такой вопрос. Нужно показать, что `\lim_{|x|+|y|+|z| \to oo} [ 9/2x^2+1/3y^4+z^2+3xz ] \to +oo `
Я начинаю рассматривать параллелепипеды, и, очевидно, увеличивая его грани, функция будет расти к бесконечности, но нужно это показать, то есть оценить функцию трех переменных снизу... Можете навести на мысль как действовать?

@темы: Математический анализ, Пределы, Функции нескольких переменных

Комментарии
2016-10-19 в 13:56 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Можно выделить полный квадрат по переменным `z` и `x` ... и получить `(z - {3*x}/2)^2 + {9*x^2}/4 + {y^4}/3` ...
И дальше делать какие-то выводы...

----------------------------------

Ну, а можно использовать неравенство Коши... `2 * |a| * |b| \le alpha^2*a^2 + {b^2}/{alpha^2}`...
`{9*x^2}/2 + {y^4}/3 + z^2 + 3*x*z \ge {9*x^2}/2 + {y^4}/3 + z^2 - 2* |{3*x}/2| * |z| \ge {9*x^2}/2 + {y^4}/3 + z^2 - {9*x^2}/{4*alpha^2} - alpha^2*z^2 = {9*(2*alpha^2 - 1)}/{4*alpha^2} *x^2 + {y^4}/3 + (1 - alpha^2)*z^2`...

Дальше можно вспомнить про то, что при больших значениях верно неравенство `y^4 > y^2` ...

Выбором `alpha` можно добиться, чтобы `min{ {9*(2*alpha^2 - 1)}/{4*alpha^2} \ ; \ 1/3 \ ; \ (1 - alpha^2) } = 1/3`...

И еще можно вспомнить неравенство для среднего арифметического и среднего квадратичного `sqrt{ {a^2 + b^2 + c^2}/3 } ge {a + b + c}/3` ... откуда `x^2 + y^2 + z^2 \ge { (|x|+|y|+|z|)^2 }/3`...

Собирая всё в кучу, получаем `{9*x^2}/2 + {y^4}/3 + z^2 + 3*x*z \ge { (|x|+|y|+|z|)^2 }/9 `...

2016-10-19 в 14:26 

Ну... у меня что-то слов нет после такого :) Это высший пилотаж!

2016-10-19 в 14:45 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
IvanTemnikov, Это высший пилотаж! - :shuffle2: ... ну, вроде типовые приёмы ... писать дольше, чем придумывать... :alles:

2016-10-19 в 14:52 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Можно ещё рассуждать так...

Верно неравенство `y^4 > y^2`, что позволяет оценить выражение квадратичной формой...
Легко проверить, что квадратичная форма положительно определена... то есть её линии уровня - это эллипсоиды...
Как известно, в эллипсоид можно вписать сферу, радиус которой равен наименьшей полуоси эллипсоида...

Таким образом, можно утверждать, что найдётся константа `C > 0`, при которой `{9*x^2}/2 + {y^4}/3 + z^2 + 3*x*z \ge C * (x^2 + y^2 + z^2)`...

В общем этого уже достаточно для утверждении о пределе... и само значение константы для расходимости предела не важно...
А неравенство о средних - это необязательный выпендрёж...

2016-10-19 в 14:56 

Спасибо!
это необязательный выпендрёж... - зато очень красиво получилось! :)

2016-10-19 в 14:59 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome...

2016-10-19 в 15:02 

`x^2 + y^2 + z^2 \ge { (|x|+|y|+|z|)^2 }/3`... - только вот этот единственный момент непонятен...
Делая так, у меня выходит, что `x^2+y^2+z^2 >= \pm \frac{(x+y+z)^2}{3}`
Вместо `\pm` можно накинуть модуль... а дальше

2016-10-19 в 15:16 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Вместо `\pm` - откуда вообще возьмётся минус?... :upset:

Делая так, у меня выходит, что - ну, `x^2 = |x|^2` ... :alles:

2016-10-19 в 15:20 

Действительно, откуда там плюс минус, ведь ничего не извлекаем не из какого корня, простите(
Теперь `|x|^2+|y|^2+|z|^2 >=1/3 (x+y+z)^2`, а всякий элемент `x=sqrt(x^2)=|x|`... А так разве можно?...

2016-10-19 в 15:28 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Теперь `|x|^2+|y|^2+|z|^2 >= 1/3 (|x|+|y|+|z|)^2` ... так можно...

2016-10-20 в 16:28 

Скорее всего будет еще парочка функций, которые надо будет оценить... Сейчас возник вопрос по оценке снизу функции `2x^2+3/2y^2+2z^2-2xy-2xz+2yz-16` при соответствующем условии `|x|+|y|+|z| \to +oo`...
Начинаю делать по аналогии с предыдущей функцией: `2x^2+3/2y^2+2z^2-2xy-2xz+2yz-16 >= 2x^2+3/2y^2+2z^2-2xy-2xz-2|y||z|-16`, и сейчас хочу попробовать оценить в большую сторону (через модули, чтобы воспользоваться неравенством Коши, о котором Вы говорили выше) также слагаемые `-2xy` и `-2xz`... Но мешают отрицательные знаки перед ними, т.к. если бы были положительные - то, очевидно, можно было бы воспользоваться приемом, который уже привел к оценке в предыдущей функции...

2016-10-20 в 20:34 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
IvanTemnikov, Скорее всего будет еще парочка функций, которые надо будет оценить...
Новые задачи лучше оформлять в новых топиках...


Сейчас возник вопрос по оценке снизу функции.... и сейчас хочу попробовать оценить в большую сторону
эти фразы несколько противоречивы... :upset:

(через модули, чтобы воспользоваться неравенством Коши, о котором Вы говорили выше) ... Но мешают отрицательные знаки перед ними
`+-2*a*b \le a^2 + b^2` и `-2*|a|*|b| \ge - a^2 - b^2` ... или я не о том?...:upset:

2016-10-20 в 20:58 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
В новом примере очевидным образом выделяется полный квадрат
`2*x^2 + 3/2*y^2 + 2*z^2 - 2*x*y - 2*x*z + 2*y*z - 16 = (x - y - z)^2 + x^2 + 1/2*y^2 + z^2 - 16`
А дальше можете оценивать хоть сверху, хоть снизу....

Кстати, можно вспомнить по мой комментарий про эллипсоид и сферу... там я писал, что можно вписать... но можно и описать сферу вокруг эллипсоида...
То есть, если квадратичная форма `L` положительно определена, то найдутся положительные константы `A, B`, для которых `A*(|x|^2 + |y|^2 + |z|^2) \le L \le B*(|x|^2 + |y|^2 + |z|^2) ` ...
В принципе эти константы должны оцениваться через большую и меньшую полуоси эллипсоида...

2016-10-20 в 21:09 

Да да, я сам дошел до этого , и учтя, из-за того,что неполный квадрат суммы или разности неотрицательны, что `\pm 2*a*b >= -a^2-b^2` у меня вышло, что `2x^2+3/2y^2+2z^2-2xy-2xz+2yz-16 >= -1/2y^2-16`

2016-10-20 в 21:36 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
у меня вышло, что `2x^2+3/2y^2+2z^2-2xy-2xz+2yz-16 >= -1/2y^2-16`
Ну, оценивать положительную величину отрицательным выражением не совсем конструктивно... :)
Например, `sin^2(x) \ge -x^2`... но это не значит, что синус стремится к бесконечности... :alles:

2016-10-20 в 21:51 

Прочитав внимательно Ваше замечание про сферу, получается, можно уравнение эллипсоида оценить снизу просто как `(x - y - z)^2 + x^2 + 1/2*y^2 + z^2 - 16 >=A*(|x|^2+|y|^2+|z|^2) >=A/3*(|x|+|y|+|z|)^2` ?...

2016-10-20 в 22:00 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
можно уравнение эллипсоида оценить снизу просто как - можно... только `-16` никуда не денется...

В данном случае можно использовать достаточно грубые оценки... и получить какое-то значение константы `A` ...
Например, `(x - y - z)^2 + x^2 + 1/2*y^2 + z^2 - 16 \ge x^2 + 1/2*y^2 + z^2 - 16 \ge 1/2* (x^2 + y^2 + z^2) - 16 \ge 1/6*(|x|+|y|+|z|)^2 - 16`...

2016-10-20 в 22:21 

Да, `-16` никуда не денется, но и на стремление предела к бесконечности `A` не должен повлиять, каким бы он ни был, наверное :)
Спасибо Вам еще раз!

2016-10-20 в 22:43 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
И снова welcome... :alles:

2016-10-20 в 22:45 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
IvanTemnikov, но и на стремление предела к бесконечности `A` не должен повлиять, каким бы он ни был, наверное
влияет знак константы... и отличие от нуля....

2016-10-20 в 22:59 

Согласен, не учел эти факты...

2016-10-21 в 20:00 

В последний раз ослушаюсь Вашей просьбы создать новый топик (больше не буду так)
Теперь есть функция `f(x,y,z)=2x^2+3y^2+z^3-4xy-7z-18`, опять же рассматривается `\lim_{|x|+|y|+|z| \to oo} f(x,y,z)` (при этом известно, что он не стремится к бесконечности). Чтобы показать это, как лучше оценивать: снизу или сверху?
Я начал снизу: `f(x,y,z)=2x^2+3y^2+z^3-4xy-7z-18=2(x-y)^2+y^2+z^3-7z-18 >=z^3-7z-18 `...

2016-10-21 в 20:48 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
IvanTemnikov, (при этом известно, что он не стремится к бесконечности).
А зачем тогда оценивать?...

2016-10-21 в 20:51 

Ну в том смысле, что надо показать, что он к ней не стремится...
А зачем тогда оценивать?... - а тогда как?

2016-10-21 в 20:59 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Я начал снизу: `f(x,y,z)=2x^2+3y^2+z^3-4xy-7z-18=2(x-y)^2+y^2+z^3-7z-18 >=z^3-7z-18 `
Понятно, что `f(0;0;z) = z^3-7z-18` ... откуда следует, что выражение в одном направлении стремится к `+\infty`, а в другом к `-\infty` ... из соображений непрерывности можно говорить, что `forall \ M ` существует кривая, на которой `|x|+|y|+|z| \to \infty`, и при этом предел даст значение `M`...

Угадать такую кривую не сложно... например, после выделения полного квадрата Вы получили, что `f(x,y,z)= 2*(x - y)^2 + y^2 + z^3 - 7*z - 18`... рассмотрим, например, плоскость `x = y`... тогда `f(y,y,z)= y^2 + z^3 - 7*z - 18 = M` - поверхность уровня, где при `z to -\infty` находится игрек...

2016-10-22 в 10:37 

Как же это все знать можно...

2016-10-22 в 11:06 

откуда следует, что выражение в одном направлении стремится к `+\infty`, а в другом к `-\infty` - а из этого можно сделать вывод, что функция `f(x,y,z)` не достигает своего абсолютного экстремума?

2016-10-22 в 11:21 

тогда `f(y,y,z)= y^2 + z^3 - 7*z - 18 = M` - поверхность уровня, где при `z to -\infty` находится игрек... - и вот это можно поподробнее... не очень понял... :mad:

2016-10-22 в 11:40 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
IvanTemnikov, Как же это все знать можно...
Я не всё знаю... :shuffle2: ... просто так удачно складывается, что Вы спрашиваете про то, что я знаю... ну, или догадываюсь ... :alles:

а из этого можно сделать вывод, что функция `f(x,y,z)` не достигает своего абсолютного экстремума?
Можно...

и вот это можно поподробнее... не очень понял...
Эмм... :upset: ... ну, выразили игрек `y = +- sqrt{M +18 +7*z - z^3}` ... понятно, что при больших отрицательных `z` подкоренное выражение положительно... получили уравнение кривой с указанным свойством (что она лежит на поверхности уровня) ...

2016-10-22 в 13:30 

Я не всё знаю... ... просто так удачно складывается, что Вы спрашиваете про то, что я знаю... ну, или догадываюсь ... - хочется, чтобы такая тенденция осталась прежней :)
Спасибо большое!

2016-10-22 в 15:02 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome жеж... :alles:

2016-10-31 в 18:43 

А как выделить полный квадрат функции `x^2+2/3y^2+2/3z^2-xy-1/2xz-2/3yz-22` ?

2016-10-31 в 22:25 

Поправочка, вот этой `x^2+2/3y^2+2/3z^2-xy-1/3xz-2/3yz-22`

2016-11-01 в 09:30 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
IvanTemnikov, Поправочка, вот этой
Выделяете скобку с иксом, игреком и зет... останутся слагаемые с игреком и зет - из них ещё выделяете скобку...

2016-11-01 в 13:36 

К сожалению не очень понял... Я пытаюсь добавлять /вычитать слагаемые, но пока не помогает...

2016-11-01 в 20:18 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
IvanTemnikov, К сожалению не очень понял... Я пытаюсь добавлять /вычитать слагаемые, но пока не помогает...
`x^2 + 2/3* y^2 + 2/3 *z^2 - x*y - 1/3*x*z - 2/3*y*z - 22 = (x^2 - x*y - 1/3*x*z ) + ...`
Что надо добавить к этой скобке, чтобы получился полный квадрат?...

2016-11-02 в 18:27 

Что надо добавить к этой скобке, чтобы получился полный квадрат?... :weep2::weep2::weep2:
Ну стыдно мне спрашивать об этом, я понимаю, что это элементарные вещи, но ничего не получается...

2016-11-02 в 19:38 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
IvanTemnikov, ну, техника выделения полного квадрата не зависит от числа переменных.... Вы же знаете формулу возведения в квадрат... :upset: ...
`(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2*a*b + 2*b*c + 2*a*c`...
Если Вам даны слагаемые `a^2 +2*a*b + 2*a*c`, то всё остальное восстанавливается однозначно...

2016-11-02 в 20:05 

Нашел, что `x^2 - x*y - 1/3*x*z = (x-y/2-z/6)^2 -y^2/4-z^2/36-(yz)/6`... И тогда ` x^2 + 2/3* y^2 + 2/3 *z^2 - x*y - 1/3*x*z - 2/3*y*z - 22 = (x-y/2-z/6)^2+5/12 y^2 -5/6 yz +23/36 z^2 - 22`... Нехорошо это все...

2016-11-02 в 20:25 

Мне же надо будет воспользоваться условием `|x|+|y|+|z| -> \infty`, а после скобки в квадрате нет слагаемого `x^2` ...

2016-11-02 в 20:45 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
а после скобки в квадрате нет слагаемого `x^2` - а зачем оно там нужно?...
У Вас получится `(x + a*y + b*z)^2 +(c*y + d*z)^2 + e*z^2 - 22` ... понятно, что первая скобка или вторая скобка при определённом поведении переменных будут ограниченными... но `z^2` всё равно стремится к бесконечности...
А если `z` - ограничено, то `(c*y + d*z)` - неограниченно растёт... ну, и если `z` и `(c*y + d*z)` - ограничены, то первая скобка неограниченно возрастает... :nope:

2016-11-02 в 20:50 

Понятно, спасибо...
А тогда уточняющий вопрос, можно ли здесь рассмотреть `f(0,0,z)=z^2/36+(5/12) z^2+ 2/9 z^2 -22` и подвести итог, что функция достигает своего абсолютного минимума на `RR^3`?

2016-11-02 в 20:53 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
В крайнем случае можно снова вспомнить, что эта квадратичная форма описывает эллипсоид... туда можно вписать сферу... то есть сделать вывод, что `L(x;y;z) - 22 \ge C*(x^2 + y^2 + z^2) - 22 \ge 1/3*(|x| + |y| + |z|)^2 - 22`...

2016-11-02 в 20:58 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
А тогда уточняющий вопрос - Эммм... :upset: ... ну, рассмотрев одно сечение вывод будет необоснованным...
У Вас есть положительно определённая квадратичная форма - она всюду принимает неотрицательные значения, кроме одной точки, в которой все скобки равны нулю... понятно, что это будет минимум...

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная