IWannaBeTheVeryBest
Начал читать про тензоры.
Скажите, как определять типа тензора? Вообще в книжке типы тензоров определяются через преобразование тензора при переходе от базиса к базису.
Ну вот просто передо мной находится вектор. `(1, 2, 3, 4, 5)^T`. Это тензор типа `(1, 0)`. А почему не `(0, 1)`?
Вот передо мной пусть будет квадратная матрица. Это же может быть тензор и типа `(2, 0)` и `(1, 1)` и `(0, 2)`. Или определить тип тензора нельзя, если передо мной просто "нарисована" какая-нибудь матрица и ничего не оговорено?
Хорошо. Вот сказано, что линейное преобразование - это тензор типа `(1, 1)`. Если линейное преобразование меняется при переходе от базиса к базису так
`A' = S^(-1) * A * S`, то само преобразование выглядит так `A : L -> L`. А если у нас линейное отображение `A : L -> V`? Матрица такого отображения будет меняться так
`A' = P^{-1} * A * S`. Тогда тип тензора у этого отображения какой?
Ладно. Билинейная форма - тензор типа `(0, 2)`. Переход от базиса к базису матрица билинейной формы меняется как
`B' = S^T * B * S`. То есть получается так. Пусть `S` - матрица перехода от базиса `e` к базису `e'`. Если переход от базиса к базису представляется матрицей `S^T` и `S`, то это по-любому тензор типа `(0, 2)`. Но если при переходе от базиса к базису присутствует матрица `S^{-1}` и `S`, то это тензор типа `(1, 1)`. Это получается, что по количеству транспонированных матриц и по количеству обратных матриц, к матрице перехода при переходе от базиса к базису, я могу определять тип тензора? И каким образом тогда будет выглядеть тензор типа `(2, 0)`? Какой у него будет переход от базиса к базису?

@темы: Линейная алгебра