10:20 

Доказать, что последовательность `x_n=1-1/3+1/5-...+((-1)^n)/(2n-1)` сходится и найти номер, начиная с которого `|x_n - A| < 0,001`

Не уверена, что оценила правильно

и, видимо, номер я тоже не правильно ищу

@темы: Пределы, Математический анализ

Комментарии
2016-10-12 в 10:36 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
MisteryS, замечание про набор условия остаётся в силе... :duma2:

Ну, как бы критерий Коши, конечно, доказывает сходимость... но там говорится про `|x_m - x_n| \ \ forall \ m,n > N` ... а у Вас почему-то рассматривается только случай `m = 2*n`... :upset:

Вообще-то, я думаю, что этот пример подразумевает гениальную догадку, что предел равен нулю... и проверку этой догадки по определению...

2016-10-12 в 11:02 

All_ex, а если так?:)

2016-10-12 в 11:05 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
MisteryS, а если так? - годится ...
Осталось только...

2016-10-12 в 11:26 

All_ex, Осталось только набрать условие текстом...
вроде набрала :)

И тогда номер ищу так: `1/(2n-1) < 10^(-3)`
`n > 500,5`

Тогда в ответе будет 'N=500`......?

2016-10-12 в 11:27 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
MisteryS, ух, ты!... как резко изменилось условие... Вы пока только исследовали сходимость последнего слагаемого... :nope:
Ведь последовательность у Вас это целая сумма...

2016-10-12 в 11:35 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
MisteryS, Я так понимаю, что ряды Вы ещё не проходили... или как раз начали изучать?...:upset:

2016-10-12 в 11:39 

Ого, да тут всё сложнее.
Признаком Лейбница бьётся на раз, вот только можно ли его использовать

2016-10-12 в 11:40 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Так были ряды или нет?...

2016-10-12 в 11:42 

All_ex, ааааааааааа, точно
Тогда снова возвращаюсь к критерию Коши....
не знаю, как получившуюся сумму правильно оценить сверху...

2016-10-12 в 11:43 

All_ex, ряды не проходили

2016-10-12 в 12:02 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Ну, коль скоро рядов не было, то критерий Коши нужен... (так как сделать предположение о том, что последовательность имеет предел `{pi}/4` достаточно тяжело... да, и мало что даст... ) ...

Оценить оставшееся выражение просто суммой модулей нельзя... так как сумма `1 + 1/2 + 1/3 + ...` равна бесконечности...
Конечно, для оценки оставшейся суммы, полезно почитать доказательство признака Лейбница... там собственно основная идея изложена...

2016-10-12 в 12:18 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Краткое переложение доказательства теоремы Лейбница... с учётом незнания рядов...

Рассмотрим критерий Коши `forall \ varepsilon > 0 \ exsits \ N(varepsilon) > 0 \ : \ forall n in NN, \ m > 0 \ => \ |x_{n + m} - x_n| < varepsilon` ...

`|x_{n + m} - x_n| = | a_{n + 1} - a_{n + 2} + a_{n + 3} - a_{n + 4} + a_{n + 5} - ldots + (-1)^m * a_{n + m} |`, здесь для краткости `a_n = 1/{2*n - 1}` ... под знаком модуля (при необходимости) на минус один сократили...

Дальше рассматриваете случаи чётного и нечётного `m` ...

Если `m = 2*k + 1`, следовательно, перепишем выражение в виде `a_{n + 1} + (-a_{n + 2} + a_{n + 3}) + (-a_{n + 4} + a_{n + 5}) - ... + (-a_{n + m -1} + a_{n + m})` ... и заметим, что все скобки отрицательны...
Если `m = 2*k`, следовательно, перепишем выражение в виде `a_{n + 1} + (-a_{n + 2} + a_{n + 3}) + (-a_{n + 4} + a_{n + 5}) - ... + (-a_{n + m -2} + a_{n + m - 1}) - a_{n + m}` ... и снова все скобки отрицательны... а последнее слагаемое тоже вычитается ...

Итого, `|x_{n + m} - x_n| < a_{n + 1} < varepsilon` ...

Доказав сходимость, можно перейти в неравенству к пределу при `m to infty`.... и получить оценку для `N(varepsilon)`... по аналогии с последним скрином ... только поправить знаменатель с `-1` на `+1` ...

2016-10-12 в 13:07 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Мдя... забыл, что при рассмотрении суммы `a_{n + 1} - a_{n + 2} + a_{n + 3} - a_{n + 4} + a_{n + 5} - ldots + (-1)^m * a_{n + m}` надо записать её как `(a_{n + 1} - a_{n + 2}) + (a_{n + 3} - a_{n + 4}) + ldots `, чтобы сказать, что она положительна...

2016-10-12 в 14:36 

All_ex, из всего гениально, написанного Вами выше, у меня получилось вот так...

Всё? доказано? Пожалуйста, скажите, что это правильно,хаахахха

2016-10-12 в 17:12 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
MisteryS, Всё? доказано? Пожалуйста, скажите, что это правильно,хаахахха
Ну, не хватает рассуждения из моего последнего комментария про то, что знак суммы равен знаку первого слагаемого...
И концовки про предельный переход...

2016-10-14 в 12:35 

All_ex, то есть будет вот так: модуль моей суммы меньше |((-1)^(n+1))/(2(n+1)-1)|<1/(2(n+1)-1) ?

2016-10-14 в 17:21 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Можно и так...
Два комментария назад я делал замечание, из которого следует, что сумма имеет знак первого слагаемого... поэтому модуль можно было раскрывать сразу после записи соответствующей суммы...

2016-10-14 в 18:38 

All_ex, ах, да, еще вторая часть задания есть
как я поняла, просто вместо эпсилон нужно подставить 1/1000?


2016-10-14 в 18:41 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Ну, как-то так...

2016-10-14 в 19:05 

All_ex, спасибо!
Что бы я без Вас делала
Вот честно. Вы мне уже не первый год помогаете!
Счастья Вам. Кем бы Вы ни были - вы замечательный человек))

2016-10-14 в 19:08 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome ...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная