12:23 

Исследовать ряд на сходимость

Доброго дня!
Необходимо исследовать на сходимость следующий ряд
`sum_(n=1)^(infty) ( (-1)^n/sqrt(n) * arctg (1/(2n+3)) )`
Я поискала в интернете и увидела, что примеры такого типа обычно решаются при помощи признака Лейбница, однако мы еще этой темы не проходили и решать нужно другим способом.
Я пробовала использовать признаки сравнения и приводить данный ряд к более простому (я не уверена в этих манипуляциях):
arctg (1/(2n+3)) ~ 1/(2n+3); 1/(2n+3) ~ 1/(2n)
Откуда в конечном счете имела ряд
`sum_(n=1)^(infty) ( (-1)^n/sqrt(n) * 1/(2n) ) = sum_(n=1)^(infty) ( 1/2 *( (-1)^n/sqrt(n)* 1/n) ) = sum_(n=1)^(infty) ( 1/2 * ( (-1)^n/ n^(3/2) ) )`
Но вот дальше опять вопрос, я могу сравнить полученный интеграл с интегралом `sum_(n=1)^(infty) ( 1/ n^(3/2) )` и далее опять же применять признак сравнения? Я просто не знаю, что делать с (-1)^n :(
Прошу помощи!
читать дальше

@темы: Ряды

Комментарии
2016-09-17 в 18:29 

А знаете ли Вы что такое абсолютная сходимость ряда?

2016-09-17 в 21:18 

Да, абсолютная и условная сходимости.
Но опять же, про нее я узнала на просторах интернета, чисто теоретически на лекциях мы ничего такого не проходили, и в ответе я должна написать, что интеграл либо просто сходится, либо расходится.

2016-09-17 в 21:28 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Filia35, у Вас в решении нет не одного интеграла... тут только ряды... :nope:

Я поискала в интернете и увидела, что примеры такого типа обычно решаются при помощи признака Лейбница,
Теорема не сложная... можно её разобрать самостоятельно...

однако мы еще этой темы не проходили и решать нужно другим способом.
Тогда возникает вопрос, а что Вы проходили?... :upset:
Например, признак Дирихле Вам давали на лекциях?...

2016-09-17 в 21:40 

Уже заговорилась и про интегралы случайно упомянула, извиняюсь.
Да на самом деле кроме самого начального - признака сравнения\предельного признака сравнения\признака Даламбера\признака Коши\интегрального признака Коши\признака Раабе- ничего не давали пока что.
Просто, как я понимаю, с их помощью я ряд этот не смогу исследовать?

2016-09-17 в 21:51 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Filia35, всё что Вы перечислили касается знакопостоянных рядов... остаётся определение, но им в таком примере пользоваться неудобно (мягко говоря)... :shuffle2:
Выход только один... самообучение... :trud:

Либо про теорему Лейбница, либо про абсолютную сходимость (в идеале про то и другое)... всё равно Вам про это будут рассказывать, коль скоро дают такие примеры... (правда, почему сначала дают, а потом рассказывают - это лучше уточнить у преподавателя) ...

2016-09-17 в 21:55 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Исследование абсолютной сходимости выглядит так... Вы убираете множитель `(-1)^n` и исследуете знакоопределённый ряд... (тут Вам в помощь изложенный на лекциях аппарат) ...
Если полученный ряд из модулей сходится, то исходный ряд сходится... (в таком случае говорят, что ряд сходится абсолютно)...

Стоить обратить внимание, Если полученный ряд из модулей расходится, то исходный ряд может как сходится, так и расходится... то есть требуется дополнительной исследование...

2016-09-17 в 22:00 

То есть Вы советуете тут использовать признак Лейбница?
Тогда получается, что я должна уже в ходе решения рассматривать сходимость данного ряда, но уже по модулю
Вот такой ряд уже можно сравнивать с `sum_(n=1)^(infty) ( 1/ n^(3/2) )` или нет?

2016-09-17 в 22:12 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
То есть Вы советуете тут использовать признак Лейбница?
Тогда получается, что я должна уже в ходе решения рассматривать сходимость данного ряда, но уже по модулю

Вы немного путаете... Теорема Лейбница утверждает сходимость ряда, но не гарантирует сходимости ряда из модулей...
Если рассматриваете модули, то исследуете абсолютную сходимость... и тогда для ряда из модулей уже можете применять разные сравнения...

!!!!! обращаю внимание на то, что признаки сравнения работают только для знакоопределённых рядов...

Если в решении из топика убрать минус единицу в степени, то Вы придёте к ряду, который у Вас написан... `sum_(n=1)^(infty) ( 1/ n^(3/2) )` ... его уже не надо сравнивать, надо делать вывод... для таких рядов есть готовый результат о сходимости в зависимости от показателя степени в знаменателе... (но если Вам это не известно, то можно применить интегральный признак)...

2016-09-17 в 22:14 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
В дополнение...

В теореме Лейбница, Вы рассматриваете члены ряда без минус единицы в степени... и проверяете, что эта последовательность монотонно убывает и стремится к нулю...

2016-09-17 в 22:18 

Спасибо за пищу для мозгов, буду разбираться!

2016-09-17 в 22:23 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная