04:32 

wpoms
Step by step ...
ТУЙМААДА-2016 (15-22 июля, Якутск)

Старшая лига

Первый день

1. Последовательность `(a_n)` задана условиями `a_1=0`, `a_{n+1}={a_1+a_2+\dots+a_n\over n}+1.`
Докажите, что `a_{2016} > 1/2 + a_{1000}`.
%А. Голованов

2. На одной из клеток клетчатой плоскости стоит кубик. На каждой грани кубика нарисована стрелочка в одном из четырёх направлений, параллельных сторонам грани. Антон смотрит на кубик сверху и перекатывает его через ребро в направлении, указанном стрелкой, нарисованной на верхней грани. Докажите, что кубик никогда не заметет никакого квадрата `5 x 5`.
%А. Чухнов

3. Высоты `A A_1`, `B B_1`, `C C_1` остроугольного треугольника `ABC` пересекаются в точке `H`.
Точки `A_0`, `B_0`, `C_0` -- середины сторон `BC`, `CA` и `AB` соответственно.
На отрезках `AH`, `BH` и `HC_1` отмечены точки `A_2`, `B_2`, `C_2` соответственно, такие что
`/_ A_0B_2A_2 = /_ B_0C_2B_2 = /_ C_0A_2C_2 =90^@`.
Докажите, что прямые `AC_2`, `BA_2` и `CB_2` пересекаются в одной точке.
%А. Пастор

4. При каждом натуральном `k` найдите число решений уравнения
`8^k = x^3+y^3+z^3-3xyz`
в неотрицательных целых числах `x`, `y`, `z`, причем `0 <= x <= y <= z`.
%В. Шевелёв

Второй день

5. Простые числа `p` и `q` отличаются не более чем в два раза.
Докажите, что найдутся такие два последовательных натуральных числа, что у одного из них наибольший простой делитель равен `p`, а у другого -- `q`.
%А. Голованов

6. Числа `a`, `b`, `c`, `d` таковы, что `0 < a <= b <= d <= c` и `a+c=b+d`.
Докажите, что для любой внутренней точки `P` отрезка длины `a` этот отрезок является стороной описанного четырёхугольника с последовательными сторонами `a`, `b`, `c`, `d`, вписанная окружность которого проходит через точку `P`.
%Л. Емельянов

7. Докажите, что при `x`, `y`, `z > 3/2` выполнено неравенство
`x^{24} + root 5 (y^{60}+z^{40}) >= (x^4 y^3 + 1/3 y^2 z^2 + 1/9 x^3 z^3 )^2`.
%К. Кохась

8. Дан связный граф. Докажите, что можно раскрасить все его вершины в синий и зелёный цвета и отметить в нём некоторые рёбра так, чтобы каждые две вершины были соединены путём из отмеченных рёбер, каждое отмеченное ребро соединяло вершины разных цветов и никакие две зелёные вершины не были соединены ребром исходного графа.
%В. Дольников

Младшая лига

Первый день

1. Перед Таней и Сережей лежит куча из 2016 конфет. Таня и Сережа делают ходы по очереди, начинает Таня. При своем ходе ребенок может съесть либо одну конфету, либо, если в куче в данный момент четное число конфет, ровно половину всей кучи. Проигрывает не имеющий хода. Кто выиграет при правильной игре?
%А. Голованов

2. На высоте `A A_1` остроугольного треугольника `ABC` отмечена точка `D` такая, что `/_ BDC=90^@`, и точка `H` - ортоцентр треугольника `ABC`. На отрезке `AH` как на диаметре построена окружность. Докажите, что длина касательной, проведенной к этой окружности из точки `B`, равна длине отрезка `BD`.
%Л. Емельянов

3. На одной из клеток клетчатой плоскости стоит кубик. На каждой грани кубика нарисована стрелочка в одном из четырех направлений, параллельных сторонам грани. Антон смотрит на кубик сверху и перекатывает его через ребро в~направлении, указанном стрелкой, нарисованной на верхней грани. Докажите, что кубик никогда не заметет никакого квадрата `5 x 5`.
%А. Чухнов

4. Неотрицательные числа `a`, `b` и `c` удовлетворяют условию `a^2+b^2+c^2 >= 3`. Докажите неравенство
`(a+b+c)^3 >= 9(ab+bc+ca)`.
%А. Храбров

Второй день

5. Во всех клетках таблицы `10 x 10` записаны положительные числа. На некоторых 5 клетках сидят лягушки, заслоняя числа в этих клетках. Костя посчитал сумму всех видимых чисел и получил `10`. Потом каждая лягушка перепрыгнула в соседнюю по стороне клетку, и Костя насчитал сумму `10^{2}`. Потом лягушки снова прыгнули, и у Кости получилась сумма `10^{3}`, и т.д. - каждая новая сумма оказывалась в 10 раз больше предыдущей.
Какую наибольшую сумму мог получить Костя?
%К. Кохась

6. Существует ли такое натуральное число, состоящее из нечётных цифр, причём цифр 1, 3, 5, 7, 9 в нём поровну, которое делится на любое 20-значное число, получаемое из него вычёркиванием цифр (ни вычеркиваемые, ни оставшиеся цифры не обязаны стоять подряд)?
%С. Берлов

7. Числа `a`, `b`, `c`, `d` таковы, что `0<a <= b <= d <= c` и `a+c=b+d`. Докажите, что для любой внутренней точки `P` отрезка длины `a` этот отрезок является стороной описанного четырёхугольника с последовательными сторонами `a`, `b`, `c`, `d`, вписанная окружность которого проходит через точку `P`.
%Л. Емельянов

8. На карте полетов авиакомпании `K_{r,r}` изображены несколько городов, некоторые пары городов связаны прямым (двусторонним) авиарейсом, причем всего имеется `m` авиарейсов.
Требуется выбрать две непересекающиеся группы по `r` городов в каждой такие, что каждый город одной группы связан авиарейсом с каждым из городов второй группы.
Докажите, что этот выбор можно осуществить не более чем `2 m^r` способами.
%D. Conlon

@темы: Олимпиадные задачи

Комментарии
2016-08-08 в 16:40 

тут есть [sensored] задача

URL
2016-08-21 в 11:46 

[sensored]

URL
   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная