10:04 

wpoms
Step by step ...
57 Международная математическая олимпиада

Агаханов Н. Х., руководитель сборной команды
Терёшин Д. А., заместитель руководителя сборной команды
Пратусевич М. Я., заместитель руководителя сборной команды

Вепрев Г. А., Лицей № 2, г. Рыбинск, Ярославская область
Губкин П. В., Президентский физико-математический лицей № 239, Санкт-Петербург
Карагодин Н. А., Президентский физико-математический лицей № 239, Санкт-Петербург
Салимов Р. И., Школа № 1329, Москва
Фролов И. И., Школа № 1329, Москва
Юргин Г. А., Лицей «Вторая школа», Москва

Успехов!



Day 1.

1. Triangle `BCF` has a right angle at `B`. Let `A` be the point on line `CF` such that `FA=FB` and `F` lies between `A` and `C`. Point `D` is chosen so that `DA=DC` and `AC` is the bisector of `/_DAB`. Point `E` is chosen so that `EA=ED` and `AD` is the bisector of `/_EAC`. Let `M` be the midpoint of `CF`. Let `X` be the point such that `AMXE` is a parallelogram. Prove that `BD,` `FX` and `ME` are concurrent.

2. Find all positive integers `n` for which each cell of `n x n` table can be filled with one of the letters I, M, O in such way that:
- in each row and each collumn, one third of the entries are I, one third are M, one third are O; and
- in any diagonal, if the number of entries on the diagonal is a multiple of three, then one third of the entries are I, one third are M, one third are O.
Note. The rows and columns of an `n x n` table are each labelled `1` to `n` in a natural order. Thus each cell corresponds to a pair of positive integer `(i,j)` with `1 <= i,j <= n`. For `n>1`, the table has `4n-2` diagonals of two types. A diagonal of first type consists all cells `(i,j)` for which `i+j` is a constant, and the diagonal of this second type consists all cells `(i,j)` for which `i-j` is constant.

3. Let `P=A_1A_2...A_n` be a convex polygon in the plane. The vertices `A_1, A_2, ... A_n` have integral coordinates and lie on a circle. Let `S` be the area of `P`. An odd positive integer `n` is given such that the squares of the side lengths of `P` are integers divisible by `n`. Prove that `2S` is an integer divisible by `n`.

Day 2.

4. A set of postive integers is called fragrant if it contains at least two elements and each of its elements has a prime factor in common with at least one of the other elements. Let `P(n)=n^2+n+1`. What is the least possible positive integer value of `b` such that there exists a non-negative integer `a` for which the set
`{P(a+1),P(a+2),...,P(a+b)}`

is fragrant?

5. The equation
`(x-1)(x-2)...(x-2016)=(x-1)(x-2)...(x-2016)`

is written on the board, with `2016` linear factors on each side. What is the least possible value of `k` for which it is possible to erase exactly `k` of these `4032` linear factors so that at least one factor remains on each side and the resulting equation has no real solutions?

6. There are `n >= 2` line segments in the plane such that every two segments cross and no three segments meet at a point. Geoff has to choose an endpoint of each segment and place a frog on it facing the other endpoint. Then he will clap his hands `n-1` times. Every time he claps, each frog will immediately jump forward to the next intersection point on its segment. Frogs never change the direction of their jumps. Geoff wishes to place the frogs in such a way that no two of them will every occupy the same intersection point at the same time.
(a) Prove that Geoff can always fulfill his wish if `n` is odd.
(b) Prove that Geoff can never fulfill his wish if `n` is even.



@темы: Олимпиадные задачи

Комментарии
2016-07-11 в 14:15 

Белый и пушистый (иногда)
Спасибо! Одновремено начинается международная по физике в Цюрихе. Завтра, т.е. 12.07 - эксперимент, 14 - теория.

2016-07-11 в 21:46 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Спасибо...
Участникам удачи!...

2016-07-16 в 19:10 

Белый и пушистый (иногда)
В этом году результат лучше: 4 золотых, 1 серебряная и 1 бронзовая медали.

2016-07-16 в 23:22 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
В этом году результат лучше: 4 золотых, 1 серебряная и 1 бронзовая медали.
Каждый получил по медали?... :upset:
Поздравляем! :red:

2016-07-17 в 15:48 

Белый и пушистый (иногда)
Физика тоже завершилась 4 золотых и 1 серебрянная медаль. Лучший - 5 результат, мальчик с серебром - 49 ( из пока опубликованных 280 - это все награжденные, медали и грамоты)

2016-07-17 в 21:42 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Физика тоже завершилась 4 золотых и 1 серебрянная медаль
молодцы...

из пока опубликованных 280 - это все награжденные
Сколько же там всего участников?... :upset:

2016-07-17 в 21:44 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
мальчик с серебром - 49
в списке или по рейтингу?...

2016-07-18 в 01:00 

Общекомандное место России на MMO - 7-е, после команд США, Республики Кореи, Китая, Сингапура.

URL
2016-07-18 в 03:05 

Белый и пушистый (иногда)
в списке или по рейтингу?...
По рейтингу (это второй серебрянный результат сверху). Но там соседние результаты иногда различаются 0,1 балла.

Общекомандное место - наверное 4, после Китая, Кореи и и Тайваня (у тех по 5 золотых медалей), Штаты, например, имеют 2 золотых и 3 серебрянных медали.

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная