18:43 

К теореме Пикара-Линделёфа

На экзамене сегодня попалась эта теорема. Хотелось бы разобраться хотя бы с условием.



1) Оценка `|f(x,y_1)-f(x,y_2)|<=L|y_1-y_2|` и есть условие Липшица? И это (если смотреть геометрически) можно представить как длину отрезка между точками `M(x,y_1,z_1)` и `N(x,y_2,z_2)`, которая не превосходит произведения константы на длину проекции этого отрезка на ось `y`?
2) Как из ограниченности частной производной следует ограниченность константы и что такое супремум по области `G` частной производной `|(partial f)/(partial y)|`?
3) Почему `|f(x,y_1)-f(x,y_2)|=|(partial f(x,xi))/(partial y)|*|y_1-y_2|`? Это сильно похоже на теорему Лагранжа, но знаю её только для одной переменной `x` когда `f(x)` непрерывна на отрезке `[a,b]`.

@темы: Дифференциальные уравнения

Комментарии
2016-07-02 в 20:22 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
1) ... и есть условие Липшица?
Да ... там же написано - определение ... :nope: ...

И это (если смотреть геометрически) можно представить как длину отрезка между точками
Где?... :upset: ...
В Ваших обозначениях слева только разность `z_1 - z_2` стоит... :upset:

2) Как из ограниченности частной производной следует ограниченность константы
Ну, берём супремум (максимум) производной... вот Вам и константа... (это как раз и говорится в подчёркнутом предложении) ...

что такое супремум по области `G` частной производной `|(partial f)/(partial y)|`?
Эмм... странный вопрос... :upset: ... есть множество значений частной производной... у него есть супремум ... :nope:

3) Почему `|f(x,y_1)-f(x,y_2)|=|(partial f(x,xi))/(partial y)|*|y_1-y_2|`? Это сильно похоже на теорему Лагранжа,
Это действительно теорема Лагранжа... просто икс выступает в роли параметра... что ничему не противоречит ...

но знаю её только для одной переменной `x` когда `f(x)` непрерывна на отрезке `[a,b]`.
Ну, `f` не просто непрерывна... а непрерывно дифференцируема...

2016-07-04 в 14:51 

All_ex, спасибо, всё понятно!

2016-07-04 в 15:40 

All_ex, а как сводят задачу к интегральному уравнению?


Как понимаю, мы делаем предположение, что существует решение, то есть такие `xi, y(xi) in G`, которые удовлетворяют условиям `(dy)/(dx)=f(x,y)` и `y(x_0)=y_0`. Понятно, что `xi` изменяется на каком то интервале `(x_0, x)`. А далее не понятно вплоть до интегрального уравнения. Например, из каких соображений решение `y(x)` считается дифференцируемой функцией? Из того, что если `y(x)` будет не дифференцируемой, то она не может быть решением ибо не удовлетворит условию `(dy)/(dx)=f(x,y)`, что противоречит предположению ?
А раз она (`y(x)`) дифференцируема в любой точке рассматриваемой области, то она и непрерывна в каждой точке этой области. Как из этого следует непрерывность `f(xi, y(xi))` по `xi`?

2016-07-04 в 17:44 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Груша Вильямс, Например, из каких соображений решение `y(x)` считается дифференцируемой функцией?
По определению классическое решение ДУ - это функция, которая имеет нужное количество непрерывных производных, и которая при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство...
Вы же пока не рассматриваете обобщённых решений... :)

А раз она (`y(x)`) дифференцируема в любой точке рассматриваемой области, то она и непрерывна в каждой точке этой области. Как из этого следует непрерывность `f(xi, y(xi))` по `xi`?
Ну, функция `f` - непрерывна... `y` - непрерывна... суперпозиция непрерывных функций тоже непрерывна... :nope:

2016-07-04 в 19:26 

All_ex, понял, уже и забыл с чего начинали просто "предположим, что функция `f` непрерывна". А там где написано "тогда и левая часть непрерывна", следует из равенства да (если `f(x)=g(x)` и одна непрерывна, то следовательно и другая непрерывна)?
Про интегрирование дифференциального уравнения `(dy)=f(xi,y(xi))dxi`, после интегрирования получим `y(x)+C=int_(x_0)^x (f'(xi,y(xi))dxi`, почему `C=-y_0` ?

2016-07-04 в 20:32 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
А там где написано "тогда и левая часть непрерывна", следует из равенства да (если `f(x)=g(x)` и одна непрерывна, то следовательно и другая непрерывна)?
Разумеется...

после интегрирования получим `y(x)+C=int_(x_0)^x (f'(xi,y(xi))dxi`, почему `C=-y_0` ?
Вообще-то слева стоит `int_{x_0}^{x} y'(xi) dxi = y(xi)|_{x_0}^{x} = y(x) - y(x_0)`... ну, и вспоминаете про начальные данные...

2016-07-04 в 23:15 

All_ex, а почему так? Ведь `(dy)/(dx)=y'(x)` то есть показываем по какой переменной дифференцируем, тогда и `y'(xi)=(dy)/(d xi)`, а в целом понял, упустил пределы интегрирования.

2016-07-06 в 04:33 

А всё понял, туплю, так и получается ведь с левой частью `int_{x_0}^{x} y'(xi) d xi = int_{x_0}^{x} (dy(xi))/(d xi) d xi = int_{x_0}^{x} dy(xi) = y(xi)|_{x_0}^{x} = y(x) - y(x_0) = y(x) - y_0`

2016-07-06 в 04:57 

Условие Липшица интересная штука, смотрю чисто геометрически, на первый взгляд не очень понятно зачем оно нужно вообще, понятно дело если функция непрерывна, то изменению одной переменной соответствует изменение функции, а значит одно изменение можно выразить через другое домножив на коэффициент пропорциональности `L`. С другой стороны, можно представить плоскость параллельную плоскости `XOY` и тогда изменению `delta y = |y_1-y_2|` будет соответствовать изменение `delta f = |f(x,y_1)-f(x,y_2)|=0` и что тогда будет показывать `L` ?

2016-07-06 в 23:39 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
будет соответствовать изменение `delta f = |f(x,y_1)-f(x,y_2)|=0`
Почему равно нулю?... :upset:

Условие Липшица интересная штука
Ну, это некоторое объединение дифференцируемости и равномерной ограниченности производной...

2016-07-15 в 23:41 

All_ex, но ведь рассматриваем плоскость параллельную полу (плоскости xoy), то есть `z=const`, а значит и приращения никакого нет. Уравнение `Cz+D=0`, `f(x,y)=-D/C`

2016-07-17 в 21:56 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
но ведь рассматриваем плоскость параллельную полу (плоскости xoy), то есть `z=const`
Это, извините, пуркуа?... :upset:

2016-07-25 в 02:22 

All_ex, ну, функция двух переменных есть поверхность, может ведь такое быть, что эта поверхность будет плоскостью - например, если начало координат взять в углу комнаты, оси - длина, ширина, высота, то потолок-плоскость можно описать функцией. И получается мы на потолке можем взять приращения-отрезки `delta x` и `delta y`, но соответствующего им приращения-отрезка `delta z` нету, так как он (потолок-плоскость) на определенной высоте...

2016-07-26 в 00:46 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
ну, функция двух переменных есть поверхность, может ведь такое быть, что эта поверхность будет плоскостью
В принципе может... но в общем случае она произвольная ... :nope:

2016-08-09 в 07:25 

All_ex, а для такого частного случая, что будет показывать константа Липшица? Она ведь тогда вообще вроде бы не определена будет?

2016-08-09 в 13:15 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
а для такого частного случая, что будет показывать константа Липшица?
Ну, например, она указывает на равномерную оценку значения производной...

Она ведь тогда вообще вроде бы не определена будет?
Почему не будет?... нуль, например, подойдёт...
Хотя она всегда определяется неоднозначно... ведь если `|y_1 - y_2| le C*|x_1 - x_2|`, то `|y_1 - y_2| le (C + 1)*|x_1 - x_2|` и так далее...
Тут скорее интересует инфинум возможного значения константы...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная