11:24 

Сходящийся интеграл

В одном из примеров из книжки Гелбаума, Олмстеда: "Контрпримеры в анализе" дан следующий пример:

У меня вопрос следующий: а зачем вообще `f(x)` определялась тут, как `f(x)=g(x)+1/x^2`? почему нельзя было просто положить `f(x)=g(x)`? Все равно стремления к нулю `1/x^2` не добавило, да и сходимости тоже

@темы: Интегралы

Комментарии
2016-07-02 в 12:37 

Trotil
Зато добавило непрерывности, вроде бы.

2016-07-02 в 12:50 

А почему её не было? Они делают линейную функцию на промежутке `[n-1/n^2;n]` и на `[n;n+1/n^2]`. Эдакий домик получается на каждом промежутке, очень даже непрерывно

2016-07-02 в 12:52 

С концевыми точками не очень ясно, может ли быть такая картина ? Интервал вроде как замкнут.

Если да, то может быть условие на положительность...

2016-07-02 в 12:53 

Trotil
Да, верно, не прав.

2016-07-02 в 13:08 

Груша Вильямс, у Вас к тому же непрерывность нарушена...
Вообще я даже вывел явное уравнение: `f(x) = n^2*x+(1-n^3), x in [n-1/n^2;n]` и `f(x) = -n^2*x+(1+n^3), x in [n;n+1/n^2]`

2016-07-02 в 14:03 

MestnyBomzh, да, в логике ошибся, на замкнутом заданном интервале определена линейная функция, а у меня вышло, что не на всём интервале. Но тем не менее по описанию задания функции следует, что есть точки, в которых она принимает нулевое значение, а значит она неотрицательна, добавили `1/x^2`, стала положительна. А почему не знаю, может быть потому что саму теорему так сформулировали и пришлось плясать под формулировку.

2016-07-02 в 16:29 

аа, ну да. g(x) = 0 в некоторых точках, вот чтобы этого не было и добавили, спасибо

2016-07-02 в 17:39 

MestnyBomzh, не за что. А из каких соображений `int_1^(+infty) g(x)` сходится? По признаку сравнения попробовал ограничить какой-нибудь синусоидой, например `g_1(x)=sin(x)+2` и не получилась сходимость `int_1^(+infty) (sin(x)+2)dx=lim_(b->+infty) (2b-cos(b)) - (2-cos(1))=+infty`. Не так-то просто ограничить `g(x)` какой-нибудь подходящей функцией.

2016-07-02 в 17:43 

Если говорить именно про мою функцию g(x), которая ноль на остальных интервалах, то так:
`int_1^(+infty) g(x)` по сути равен сумме треугольников. `S = a_n * h/2, h=1`. Значит `S_n=a_n/2`. При этом `a_n = n+1/n^2-(n-1/n^2) = 2/n^2` => `S_n = 1/n^2`. Ну а ряд обратных квадратов сходится)

2016-07-02 в 17:44 

MestnyBomzh, о, круто) Ряды ещё не проходили.

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная