22:52 

Задача с Санкт-Петербургской региональной студенческой математической олимпиады 2009г

Пусть `f(x) = sum_(k=1)^(oo) cos(4^k*x)/2^k`. Доказать существование такой константы `C > 0` , что для всех `x_1, x_2 in RR => |f(x_1) - f(x_2)| <= C*(|x_1 - x_2|)^(1/2)`.

Исходный функциональный ряд сходится равномерно (его можно сравнить с рядом `sum_(k=1)^(oo) 1/2^k`). Можно ли сделать вывод о существовании `C` из равномерной сходимости функционального ряда?

@темы: Олимпиадные задачи, Ряды

Комментарии
2016-06-19 в 23:15 

Думаю, что нет, это не достаточное условие.
Контрпример: для функции f(x) = x^3 неравненство не выполняется.

URL
2016-06-19 в 23:27 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Гость, Контрпример: для функции f(x) = x^3
Простите, я не совсем понял как Вы эту функцию представили предложенным в условии рядом...

2016-06-20 в 07:22 

All_ex, f(x0) - какое-то конечное число, значит условие должно быть справедливо не только для рядов, но и для любых функций вообще...
f(x) = x^3 можно заменить на ряд, который сходится к x^3, суть задачи не изменится...

URL
2016-06-20 в 08:54 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Гость, значит условие должно быть справедливо не только для рядов, но и для любых функций вообще...
Хм... :upset: ... По-моему, вывод о том, что не выполнено общее утверждение, значит не выполнено для конкретной функции как-то странно выглядит... :nope:

2016-06-20 в 09:52 

All_ex, а автор между тем спрашивает, можно ли из данного утверждения сделать вывод о верности неравенства? Ответ - нет, нельзя, и есть контрпример.

URL
2016-06-20 в 09:58 

То есть нужны ещё дополнительные обоснования.

URL
2016-06-20 в 10:17 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Гость, простите за наезд... :shuffle2: ... не внимательно прочитал вопрос в топике... :pom: ...

2016-06-22 в 15:31 

Спасибо всем за разъяснения.

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная