19:03 

Ассимптотическая устойчивость системы ДУ

IWannaBeTheVeryBest
При каких альфа нулевое решение данной системы
`{(x' = -3x + \alpha y),(y' = -\alpha x + y):}`
ассимтотически устойчиво?
Вообще, насколько я понимаю, надо составить матрицу из производных по икс и по игрек обоих уравнений (Якобиан вроде называется), и составить характеристическое уравнение `det(J - \lambda E) = 0`. Дальше наша задача определить, при каких альфа действительная часть корней этого уравнения будет отрицательной.
Поехали.
`J = ` $\left(\begin{array}{c c}-3 & \alpha \\ -\alpha & 1\end{array}\right)$
`J - \lambda E = ` $\left(\begin{array}{c c}-(3 + \lambda) & \alpha \\ -\alpha & 1 - \lambda \end{array}\right)$
`det(J - \lambda E) = (\lambda - 1)(\lambda + 3) + \alpha^2 = \lambda^2 + 2\lambda - 3 + \alpha^2`
`\lambda^2 + 2\lambda - 3 + \alpha^2 = 0`
Ну, я для комплексных чисел не стал проверять, но для действительных проверил. Где-то видел правило, что если все коэффициенты уравнения >0, то условие на отрицательные действительные части будет выполнено.
`- 3 + \alpha^2 > 0`
`\alpha^2 > 3`
`\alpha \in (-\infty; -sqrt(3))\cup(sqrt(3); +\infty)`
Верно? Просто я не понял, зачем здесь тогда указывать про нулевое решение, когда тут для любого решения получается это выполняется. Производные уравнения не содержат в себе функции, зависящие от икс или игрек. А соответственно любое решение такой системы должно быть ассимптотически устойчивым.

@темы: Дифференциальные уравнения

Комментарии
2016-06-17 в 19:44 

IWannaBeTheVeryBest
для комплексных тоже проверил. Работает.

2016-06-17 в 19:54 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
IWannaBeTheVeryBest, не понятны Ваши сомнения... ну, если Вы изучали теорию по этому вопросу... :)

У Вас однородная система линейных ДУ с постоянными коэффициентами... в общем случае её решение состоит из суммы слагаемых вида `H*e^{lambda*t}`, где `H(t)` - вектор-функция, координаты которой являются многочленами, коэффициенты которых выражаются через собственные и присоединённые векторы... понятно, что если `lambda = a +i*b`, то при `a < 0` такие слагаемые стремятся к нулю при `t to +oo`... :nope:

2016-06-17 в 20:00 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, просто обычно натыкался на задачи, где нули нужно подставлять, если в производных вылезают иксы или игреки. Теорию не учил, признаю)) Только тупо решаю. Хотя это иногда начинает раздражать, когда не понимаешь что и для чего ты решаешь. Ладно, понял теперь, спасибо))

2016-06-17 в 20:03 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Ладно, понял теперь, спасибо)) - welcome, конечно... :) ... правда, не могли бы Вы перевести эту фразу - "если в производных вылезают иксы или игреки." ... :upset:

2016-06-17 в 20:44 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, ну я так "простословно" выразился. Ну функции зависящие от икс или игрек. Если бы у нас были производные не просто константы, а полиномы какие-нибудь, то вместо иксов и игреков надо было бы ставить нули. Ну раз нулевое решение требуется. Или я не прав?

2016-06-17 в 21:34 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Если бы у нас были производные не просто константы, а полиномы какие-нибудь,
Дык, они и равны полиномам... первой степени...

то вместо иксов и игреков надо было бы ставить нули.
Загадочная фраза...

Теперь понятно, что Вы имели ввиду... Вы говорили про нелинейный системы...
Они часто исследуются по первому приближению... то есть правая часть раскладывается в окрестности стационарного решения (обычно нулевого) ... и смотрят на линейную часть...

2016-06-17 в 23:44 

IWannaBeTheVeryBest
Вы говорили про нелинейный системы
Дада, точно))

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная