11:31 

Доказать устойчивость нулевого решения по определению

IWannaBeTheVeryBest
Не люблю, когда прилетают нестандартные задачи, о которых в интернете мало что сказано.
Доказать по определению, что нулевое решение ДУ `x' = -3x` ассимптотически устойчиво.
Все, что я находил про устойчивость касалось исключительно систем. Я так понимаю, что передо мною стоит задача опустить условия для систем на одиночное ДУ.
Не хочу доказывать асс. уст-ть, пока не докажу обычную. Хотя может этого и не требуется делать.
Определение должно быть таким
Решение `y = \varphi(x)` является устойчивым по Ляпунову, если для любого `\epsilon > 0` существует такая `\delta(\epsilon) > 0`, что как только `|y(x_0) - \varphi(x_0)| < \delta` сразу же выполняется `|y(x) - \varphi(x)| < \epsilon` (для `x > x_0`).
Предположим, что в нашем случае `x' = dx/dt`, хотя как мне кажется, без разницы по какой букве выбирать дифференцирование.
Для начала я найду общее решение.
`dx/x = -3dt`
`lnx = -3t + C`
`x = C*e^{-3t}`
Нулевое решение, как я понимаю, это `x(0) = 0`. Решением такой задачи Коши является просто 0. А решением задачи `x(0) = x_0`, является функция `x = x_0*e^{-3t}`
Неравенства должны принимать такой вид
`|x_0 - 0| = |x_0| < \delta`
`|x_0*e^{-3t}| < \epsilon` для `t > t_0`
Положим `\delta = \epsilon`. Дальше можно сделать преобразования
`|x_0*e^{-3t}| = |x_0|*e^{-3t} < |x_0| < \delta = \epsilon` для `t > 0`
Для ассимптотической устойчивости достаточно сказать, что `|x(t) - \varphi(t)| -> 0`, при `t -> \infty`
То есть `lim_{t -> \infty} x_0*e^{-3t} = 0`. Это очевидно для положительных t, что нам и надо.
Все верно? Просто само выражение "нулевое решение" меня как-то смущает.

@темы: Дифференциальные уравнения

Комментарии
2016-06-11 в 12:10 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
У Вас есть ДУ, решение которого зависит от начальных данных... В частности при условии `x(0)=0` Вы получаете "нулевое решение" `x(t) -= 0` ...

Доказать устойчивость решения по определению
Ну, в целом мысли верные ... надо проверить, что при малых отклонениях начальных данных следует малые отклонения решения... при проверке всё похоже на проверку непрерывности функций...

2016-06-11 в 12:13 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Это очевидно для положительных t - тут лучше писать про предел при `t to +infty` ...

2016-06-11 в 12:29 

IWannaBeTheVeryBest
Вы получаете "нулевое решение"
Хорошо, понял. Просто в самом задании не сказано, какое `t_0` использовать. Сама задача Коши не дана. Просто написано исследовать на ассимптотическую устойчивость нулевое решение. Поэтому странно как-то. Когда находил подобные задания с уравнениями, то там была дана задача Коши. Причем была `y(1) = 1`. то есть можно сделать вывод, что `x_0` или в моем случае `t_0` далеко не всегда может быть равно 0 и, по сути, мое `x(0) = 0` т.н. "отсебятина". Хотя, сейчас я так смотрю, вроде для любого действительного `t_0` будет выполняться ассимптотическая устойчивость. Хотя вот отрицательные `t_0` вызывают сомнение. Тогда под условие `t>t_0` будут попадать и отрицательные t. Поэтому наверное все же для неотрицательных `t_0` это выполнено.
тут лучше писать про предел при `t -> +\infty`
Вот кстати тут тоже все преподаватели обычно выбирают конкретный знак бесконечности. Я как-то привык писать либо минус у бесконечности, либо ничего, что означает плюс бесконечность. Ну по аналогии с обычными числами. Мы же не пишем плюс перед числом, когда хотим указать его положительность. Да и вольфрам альфа, хоть это и не наш сайт, все же спокойно переваривает бесконечность без плюса, как плюс бесконечность. Или все же есть какая-то принципиальная разница в написании?

2016-06-11 в 15:06 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Просто в самом задании не сказано, какое `t_0` использовать.
У автономных систем и уравнений (когда правая часть не зависит от переменной) не важно в какой точке задавать начальные данные, поскольку при сдвигах такое уравнение (система) не изменяется...

Тогда под условие t>t_0 будут попадать и отрицательные t. Поэтому наверное все же для неотрицательных t_0 это выполнено.
Опять же при решении автономных уравнений подразумевается, что `t > t_0`... (тут `t` играет роль времени)... конечно, иногда рассматривают задачи с "обратным временем", но это отдельная история (и должно оговариваться)...

Я как-то привык писать либо минус у бесконечности, либо ничего, что означает плюс бесконечность.
Ну, вообще-то это не так...
Тут Вам лучше освежить воспоминания из теории пределов...
Если Вы внимательно посмотрите на определения, то при `t to infty` в определении написано неравенство `|t| > Delta` ... а при стремлении к плюс или минус бесконечности `t > Delta` или `t < -Delta` соответственно... То есть в первом случае стремление происходит в обе стороны... То же самое касается и бесконечного предела функции... например, `lim_{t to 0} 1/t = infty`, но не равен `+infty` или `-infty` ...

2016-06-11 в 15:08 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Да и вольфрам альфа, хоть это и не наш сайт, все же спокойно переваривает бесконечность без плюса, как плюс бесконечность.
Возможно это там заложено... а может просто не важен знак бесконечности в примере, который Вы предлагаете ему к решению... :nope:

2016-06-11 в 15:15 

IWannaBeTheVeryBest
То же самое касается и бесконечного предела функции
Ну у этой функции обычно указывается, с какой стороны идет стремление к 0, если не ошибаюсь.
Однако, если отсутствие знака не означает плюс бесконечность, то тогда, все-таки теперь буду писать плюс.
а может просто не важен знак бесконечности в примере, который Вы предлагаете ему к решению
Дал ему в пример элементарную функцию. Вот результаты
`lim_{x -> \infty} e^x = \infty`
`lim_{x -> -\infty} e^x = 0`
Так что, наверное, заложено.
Ну ладно. Это так.
Спасибо за разъяснения в примере))

2016-06-11 в 15:23 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome ...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная