19:15 

Последовательные приближения Пикара.

IWannaBeTheVeryBest
Система
`{(x' = y^2),(y' = x^2):}`
`{(x(0) = 1),(y(0) = 1):}`
Как строить приближения для системы уравнений? Условия написал примерно. Не помню точно какие были. Но думаю эти пойдут.
Для простого уравнения это будет так
`y_n = y_0 + int_{x_0}^{x} f(x,y_{n - 1}) dx`
В моем случае уже будет не `y_0`, а вектор `T_0 = ((1),(1))`
Дальше идет интеграл. Рассуждаю логически. В случае одного уравнения пределы интегрирования являются точка `x_0` и `x`. В нашем случае это точка `t_0` и `t`, так как в системах и икс и игрек зависят от t.
Потом составляется функция - правая часть `y' = f(x, y)`, но вместо игрек мы подставляем на первом приближении `y_0`, затем `y_1` и так далее. В нашем случае это будет вектор-функция. Но тут я никак не могу сообразить, что будет. Справа нет ничего связанного с t. Что будет с первым приближением? Если в случае одного уравнения аргумент икс оставался без изменения, то логично предположить, что все аргументы должны оставаться без изменений, кроме t. Тогда, под интегралом, должен быть вектор
`((y^2),(x^2))`
Все вместе должно выглядеть так
`T_{n} = T_0 + int_{t_0}^{t} F(t_{n - 1}, x, y) dt`
Первое приближение такое
`T_{1} = ((1),(1)) + int_{0}^{t} ((y^2),(x^2)) dt`
Пределы интегрирования наверное тоже надо было в векторном виде записать. Хотя я в векторной форме записи не очень силен. Подскажите, если что не так.

@темы: Дифференциальные уравнения

Комментарии
2016-06-10 в 21:58 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
IWannaBeTheVeryBest, Все вместе должно выглядеть так `T_{n} = T_0 + int_{t_0}^{t} F(t_{n - 1}, x, y) dt`
Начнём с того, что вектор неизвестных обычно обозначается заглавной буквой икс... то есть система имеет вид `X' = F(t;X)` ...
Все (или почти все) формулы для одного уравнения переписываются для систем с учётом того, как определяются соответствующие операции...
Например, производная от вектор-функции - это вектор, составленный из производных... такое обозначение получают просто по определению производной... Аналогично определяется и понятие интеграла от вектор-функции - это вектор, составленный из интегралов ..
Поэтому формула последовательных приближений будет выглядеть так `X_{n}(t) = X(0) + int_{0}^{t} F(t;X_{n - 1}(t)) * dt` ...

Всё это можно получать просто применяя построение последовательных приближений к каждому уравнению по отдельности...

2016-06-10 в 22:06 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Так... Тогда получается, что первое приближение - это
`{(x_1 = 1 + int_{0}^{t} y_0^2 dt), (y_1 = 1 + int_{0}^{t} x_0^2 dt):}`
?
Ну я не интегрировал пока.

2016-06-10 в 22:13 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Нулевые индексы забыли написать под интегралом ...

2016-06-10 в 22:18 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Верно исправил? То есть это получаются тоже единицы что-ли?

2016-06-10 в 22:23 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Верно исправил? - :yes: ...

То есть это получаются тоже единицы что-ли? - Если мне не изменяет память, то нулевое приближение можно выбирать достаточно произвольно... хотя обычно его выбирают постоянным и равным начальным данным...
То есть ответ - тоже :yes: ...

2016-06-10 в 22:39 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Хорошо. Спасибо))

2016-06-10 в 22:50 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome ...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная