23:07 

Дифференциальные уравнения

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Что-то залипаю, уже вечер. Такие условия.
`x^2y'' - 2y = 0`
`\lim_{x \to 0} y(x) = 0; y'(1) = 1`
Решаю так.
1. Подбираю частное решение. Очевидно это `x^2`.
2. Замена `y = x^2*z`
`y' = 2xz + x^2z'`
`y'' = 2z + 2xz' + 2xz' + x^2z'' = 2z + 4xz' + x^2z''`
3. Подставим
`x^4z'' + 4x^3z' = 0`
`xz'' = -4z'`
4. Замена `z' = p`
`xp' = -4p`
`(dp)/p = -4dx/x`
`ln|p| = -4(ln|x| + ln|c|) = -4(ln|cx|)`
`p = (c_1*x)^{-4}`
`z = 1/(c_1)^4 * (-1/(3x^3) + c_2)`
5. Кидаю все в подстановки пункта 2
`y = x^2*c_2/(c_1)^4 - 1/(3(c_1)^4*x)`
`\lim_{x \to 0} x^2*c_2/(c_1)^4 - 1/(3(c_1)^4*x) = 0`
Где я ошибся? Потому что этот предел я не могу разрешить. Константы никак не влияют на то, что предел равен минус бесконечности. Если даже z и z' кину в y' и у меня получится система на две константы это ничего не изменит. Хелп плиз.

@темы: Дифференциальные уравнения

Комментарии
2016-05-17 в 11:09 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Вы достаточно неудачно выбрали первую константу... а потом и вторую...

Когда интегрируете уравнение в пункте 4, то получаете `int {dp}/p = -4*int {dx}/x`... откуда `ln|p| = -4*ln|x| + C`... или `p = C/{x^4}`...
и так далее...

В принципе после того, как Вы нашли решение, можно сказать, что `1/{3*C_1^4}` и `{C_2}/{C_1^4}` - это какие-то независимые константы... и решение можно записать в виде `y = A/x + B*x^2` ...

2016-05-17 в 11:18 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, это какие-то независимые константы
Ну тогда у меня будет так
`\lim_{x \to 0} x^2C_1 - C_2/x = 0`
Как бы от константы тоже не зависит. Получается, что сама константа будет зависеть от икса. Разве так можно делать? Ну это же должны быть какие-то числа конкретные. Или нет?
Насчет выбора константы - понял. Попробую сейчас перерешать. В общем-то решение же вроде верное. Только вот с пределом там наверняка опять будет что-то такое, где от числа не будет зависеть решение.

2016-05-17 в 11:25 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Решение верное... но когда константы имеют простой вид, то и выводы сделать проще...

Так в Вашем пределе стоят две функции... одна стремится к нулю, а другая к бесконечности... чтобы предел функции равнялся нулю, второе слагаемое надо занулить... то есть `C_2 = 0`...

2016-05-17 в 11:38 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Аааа... вот я затупил... Куда мне в такие темы соваться, когда я такую элементарщину забыл... Икс стремится к 0, далеко не означает, что он ему равен. Понятное дело, что если константа уже 0, то слагаемое сразу обнуляется. Что-то я реально про это забыл. Спасибо))
Сейчас переделаю и константы проще подберу.

2016-05-17 в 11:53 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome ...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная