18:31 

Устойчивость

всем привет!
исследовать на устойчивость линейную однородную дифференциальную систему
x`=-x-9y
y`=x-y
x(0)=y(0)=0
подскажите пожалуйста с чего начать
всем спасибо)

@темы: Дифференциальные уравнения

Комментарии
2016-05-06 в 22:43 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
...Полярная Звезда..., подскажите пожалуйста с чего начать - С нахождения общего решения системы...

2016-05-07 в 13:21 

All_ex,
`x(t)=-3*exp(-t)*C_1*cos(3t) - 3*exp(-t)C_2*sin3t`
`y(t)=-C_1*exp(-t)*sin(3t) + C_2*exp(-t)*cos(3t)`
такое общее решение получилось, правильно?
а дальше?

2016-05-07 в 15:50 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
такое общее решение получилось, правильно?
можно и так...

а дальше?
Вообще-то вывод об устойчивости нулевого решения делают по собственным числам матрицы (корням характеристического уравнения)...
Выписать решение я попросил, чтобы Вы пронаблюдали почему делается такой вывод ...

Нетрудно заметить, что при любых константах решение стремится к нулю при `t -> +oo` (за счёт множителя `e^{-t}`) ... следовательно, решение асимптотически устойчиво...

Для линейных систем на асимптотическую устойчивость указывает наличие собственных чисел, у каждого из которых действительная часть отрицательна...
Если есть нулевая действительная часть и все корни кратности 1, то решение просто устойчиво...
Наличие положительной действительной части или нулевая действительная часть у кратного корня означает неустойчивость...

2016-05-07 в 16:15 



По Пискунову

2016-05-07 в 17:03 

All_ex, а зачем условие x(0)=y(0)=0 ?
а нельзя ли исследовать на устойчивость по определению Ляпунова, хочу увидеть весь процесс, просто задач на экзамене на эту тему много

2016-05-07 в 17:28 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
а зачем условие x(0)=y(0)=0 ? - Чтобы более явно выделить нулевое решение, устойчивость которого и исследуется...
Вообще-то стационарная решение в Вашей системе только нулевое... поэтому начальные данные указаны просто для полноты картины... :)

а нельзя ли исследовать на устойчивость по определению Ляпунова
Можно...

хочу увидеть весь процесс
Ну, как вариант смотрите учебник Филиппов А.Ф. "Введение в теорию ДУ", стр. 164, пример 4...

2016-05-07 в 17:50 

All_ex, не могли бы вы показать как будет выглядеть решение, если по определению Ляпунова решать?

2016-05-07 в 19:07 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
...Полярная Звезда..., не могли бы вы показать как будет выглядеть решение, если по определению Ляпунова решать?
Учебник не устраивает?... :upset:

Если Вы выписали решение в явном виде, то явно же всё и оценивается... техника схожа с проверкой определения предела функции...
Находите `x^2(t) + y^2(t)`... оно имеет вид `e^{-2*t}*U(t;C_1;C_2)`... выражение `U(t;C_1;C_2)` ограничено некоторой константой, зависящей от констант решения`C_1` и`C_2`, которые в свою очередь выражаются через малые изменения начальных данных...
Затем показываете, что из `x^2(0) + y^2(0) < delta` следует, что `x^2(t) + y^2(t) < epsilon`... то есть указываете связь `delta(epsilon)` ... и всё...

2016-05-09 в 14:31 

All_ex, спасибо
до меня дошло)

2016-05-09 в 18:56 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome ...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная