21:45 

wpoms
Step by step ...
Математика в школе, № 31,2

5453.
У царя Гиерона есть 11 слитков, неразличимых на вид; царь знает, что их веса (в некотором порядке) равны 1, 2, ..., 11 мин. Ещё у него есть мешок, который порвётся, если в него положить больше 11 мин. Архимед узнал веса всех слитков и хочет доказать Гиерону, что первый слиток весит 1 мину. За один шаг он может загрузить несколько слитков в мешок и продемонстрировать Гиерону, что мешок не порвался (рвать мешок нельзя!). За какое наименьшее число загрузок мешка Архимед может добиться требуемого?
%И.И. Богданов (Москва), К.А. Кноп (С.-Петербург)

5454.
Непустое множество `A \subseteq R` назовём заполненным, если для любых `x, y \in R` (не обязательно различных и не обязательно лежащих в `A`) таких, что `(x+y) \in A`, число `xy` также лежит в `A`. Найдите все заполненные множества.
%Н.X. Агаханов (Москва)

5455.
Каким может быть число `a>0`, если для некоторой строго убывающей функции `f: (0, +\infty) \to (0, +\infty)` и любого `x \in (0, +\infty)` выполняется неравенство `f(x) >= af(x + f(x))`?
%Ш.Н. Исмаилов (Ташкент, Узбекистан)

5456.
Каждая прямая, проходящая через пару смежных вершин `n`-угольника, содержит ещё хотя бы одну из его вершин. Каким наименьшим может быть число `n`?
%Е.В. Бакаев (Москва)

5457.
Докажите, что неравенство
`{n sqrt2} [n sqrt2] < 1/2`
имеет бесконечное множество натуральных решений (`{a}` и `[a]` -- дробная и целая части числа `a` соответственно).
%М. А. Муртузалиев, Ш.Г. Гамидов (Махачкала)

---------------------------------------
1 vk.com/club1126038
2 В журнале не указано, что некоторые задачи предлагались на областном этапе российской олимпиады.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

Комментарии
2016-04-27 в 22:56 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Спасибо... интересно...

2016-04-27 в 23:39 

Первую получилось за 5 ходов решить. читать дальше
Может быть, и за 4 решается, но это надо на свежую голову думать.

2016-04-28 в 03:56 

Trotil
5454. Если я правильно понял условие, то решение вот:
1) Пусть в множестве А есть элемент а(по условию он есть). Выберем x=a,y=0, тогда a*0=0 принадлежит А.
2) (-1)+1=0 => -1 = (-1)*1 принадлежит А.
3) (-2)+1=-1 => -2 = (-2)*(1) принадлежит А
по аналогии все отрицательные числа принадлежат А
4) (-1)+(-1)=-2 => 1 =(-1)*(-1) принадлежит А.
5) (-2)+(-1)=-3 => 2 = (-2)*(-1) принадлежит А.
и т.д. => все положительные числа так же принадлежат А.

2016-04-28 в 15:46 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Trotil, возможно тут какие-то нюансы, связанные с иррациональными числами... :upset:
Что-то типа такого рассуждения... Если `a` - иррационально, то `a + (-a) = 0 in A`, но число `(-a^2)` может не быть иррациональным... :upset:

2016-04-28 в 19:11 

Trotil, возможно тут какие-то нюансы, связанные с иррациональными числами...
всё что это значит - это то, что множество всех иррациональных чисел "заполненным" в смысле данного выше определения не является
например
sqrt(2)+1 и sqrt(2)-1 - их сумма есть число 2*sqrt(2) - иррациональное число, но произведение есть 1 - и иррациональным не является.

с другой стороны, как только Тротил показал что 0 входит вв множество А он показал что все вообще числа из R входят в А - А=R в принципе.

Никаких нюансов

URL
2016-04-28 в 19:34 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Гость, Никаких нюансов - я просто пытаюсь найти ещё варианты подмножеств, которые являются заполненными... :nope: ... привиделось, что есть ещё... :upset:

всё что это значит - это то, что множество всех иррациональных чисел "заполненным" в смысле данного выше определения не является
не совсем так... мне показалось, что множество рациональных чисел, тоже является заполненным... но ошибся... :nope:

2016-04-28 в 19:45 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
5456. Каждая прямая, проходящая через пару смежных вершин `n`-угольника, содержит ещё хотя бы одну из его вершин. Каким наименьшим может быть число `n`?
Пятиконечная звезда подходит (`n = 10`)...
Вчера рисовал некую кракозябру... вроде с восьмиугольник был... но как выглядит сегодня вспомнить не могу... :upset: ... "будем искать"(с) ... :alles:

2016-04-28 в 20:47 

Вчера рисовал некую кракозябру... вроде с восьмиугольник был... но как выглядит сегодня вспомнить не могу... ... "будем искать"(с) ...

куда нам деваться от пятиконечных звёзд...

URL
2016-04-29 в 09:01 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Гость, куда нам деваться от пятиконечных звёзд...
Это намёк на ответ?... :alles:
Вот, честно говоря, слабо себе представляю как доказывается минимальность в такой задаче... :upset:

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная