09:02 

Площадь фигуры (гипербола и прямая)

Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой `x^2/a^2-y^2/b^2=1` и прямой `x=2a`.


`f(x)=bsqrt((x/a)^2-1)`
`bint_{a}^{2a} sqrt((x/a)^2-1)dx=bint_{a}^{2a} sqrt(-(1-(x/a)^2))dx=[(x/a=sint), (x=asint), (dx=acostdt)]=abint_{pi/2)^{arcsin2} sqrt(-(1-sin^2t))dt`... но тогда подкоренное выражение отрицательно на указанном интервале...как быть?

@темы: Интегралы

Комментарии
2016-04-24 в 15:45 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Груша Вильямс, тут не тригонометрический синус, а гиперболический косинус в замене должен быть...

2016-04-24 в 15:47 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Кстати, ещё на 2 забыли умножить...

А вычислять такой интеграл можно интегрируя по частям... и получая относительно искомого интеграла линейное уравнение...

2016-04-25 в 03:31 

All_ex, я сделал, но написать не успел, т.к. топик еще появился. Заметил просто, что `sinx=2` быть не может и на гиперболические перешел, двойку пропустил случайно :)

`S=2bint_{a}^{2a} sqrt((x/a)^2-1)dx=[(x=acht), (dx=ashtdt)]=2abint_{0}^{ln(2+sqrt(3))} sh^2tdt=2abint_{0}^{ln(2+sqrt(3))} (ch(2t)-1)/2dt=`
`=ab(1/2int_{0}^{ln(2+sqrt(3))} ch(2t)d(2t) \ - \ int_{0}^{ln(2+sqrt(3))} dt)=ab((sh(2t))/2-t)|_{0}^{ln(2+sqrt(3))}=ab(2sqrt(3)-ln(2+sqrt(3)))`. :)

А вычислять такой интеграл можно интегрируя по частям... и получая относительно искомого интеграла линейное уравнение... это без замены? знаю такой приём, то есть
`[(u=sqrt((x/a)^2-1)), (dv=dx)]`, `[(du=x/sqrt(x^2-a^2)dx), (v=x)]`, но вроде не получается `int sqrt((x/a)^2-1)dx = xsqrt((x/a)^2-1) - int x^2/sqrt((x^2-a))dx`

2016-04-25 в 03:57 

точнее `1/aint sqrt(x^2-a^2)dx = xsqrt((x/a)^2-1) - 1/aint x^2/sqrt(x^2-a^2)dx`

2016-04-25 в 08:45 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
`ab(2sqrt(3)-ln(2+sqrt(3)))` - не проверял до числа (смотрю с работы без скрипта) ... но на правду похоже...

`int x^2/sqrt(x^2-a^2)dx = int {x^2 - a^2 +a^2}/sqrt(x^2-a^2)dx = ...`
И получаете сумму табличного интеграла и исходного...

2016-05-03 в 16:00 

All_ex, спасибо.

2016-05-03 в 18:09 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная