Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
04:26 

Площадь наибольшего треуголника

Не могли бы Вы проверить:
Дан круг радиусом `R`. Найти найти вписанный в него треугольник, площадь которого наибольшая.
Нужно составить задачу оптимизации и решить её.
Как мне уже посоветовали в предыдущем топике вполне логично составить задачу оптимизации:
`{(R^2/2(sin alpha + sin beta + sin (2pi-alpha-beta))->max ), (0<=alpha < pi), (0<=beta < pi):}`
Дальше можно было бы просто максимизировать сумму трех синусов, взяв производную по двум аргументам, получается:
`{(cos alpha - cos (alpha+beta) = 0),(cos beta -cos (alpha+beta) = 0):}`, вычитая поулчаем `cos alpha = cos beta`. Альфа и бета - углы от нуля до `2pi`, значит `alpha=beta` (или же `beta = 2pi-alpha`) и значит `cos alpha - cos (2alpha) = 0`, отсюда `[(alpha=0), (alpha=2pi/3), (alpha=4pi/3):}`. `alpha=0` очевидно неверно. Если `alpha=2pi/3`, то все центральные углы по 120, значит треугольник равносторонний (нужный ответ). Ну и, наконец, если `alpha = 4pi/3`, то `beta = alpha = 4pi/3`, что невозможно. Если же `beta = 2pi-alpha`, то `cos alpha = 1`, значит `alpha=0` (посторонний корень) или `alpha = pi`
Итого один ответ: все углы по 60 градусов.

@темы: Планиметрия

Комментарии
2016-03-28 в 07:35 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
MestnyBomzh, Как мне уже посоветовали в предыдущем топике
Я говорил про центральные углы... а они могут быть больше, чем `pi`...
Правда, тогда надо ставить модули синусов... а это грустно... :)
Будем считать, что Вы "из геометрических соображений" сделали вывод об углах не более развёрнутого... :)
Хм... после раздумий понял, что модуль не нужен... :pom:

================================

`alpha=0` очевидно неверно.
Почему неверно?... просто это точка минимума...

=====================

Замечание из серии "я так думаю"(с)... :umnik:
В целом мне кажется зря Вы перешли к двум переменным... тут периодически надо вспоминать про третий угол...
Оставили бы функцию трёх переменных с одним линейным ограничением в виде равенства... и методом множителей Лагранжа всё сделали...

И мне кажется, что этот вариант будет проще при добавлении ограничений на длины, которые возникают в следующих пунктах... :upset:

2016-03-28 в 08:48 

All_ex, то есть вот такая система
`{(R^2/2(sin alpha + sin beta + sin (gamma))->max ), (alpha+beta+gamma=2pi), (alpha>=0),(beta>=0),(gamma>=0):}`?
А потом составляем функцию Лагранжа: `F=R^2/2(sin alpha + sin beta + sin (gamma))+lambda*(alpha+beta+gamma-2pi)`
И теперь решать задачу Лагранжа?

2016-03-28 в 08:56 

`{(R^2/2(cos alpha + sin beta + sin (gamma))+lambda=0), (R^2/2(sin alpha + cos beta + sin (gamma))+lambda=0), (R^2/2(sin alpha + sin beta + cos (gamma))+lambda=0),(alpha+beta+gamma-2pi=0):}`
После нескольких вычитаний:
`{(-sqrt(2)sin(alpha-pi/4)+sqrt(2)sin(beta-pi/4)=0),(-sqrt(2)sin(beta-pi/4)+sqrt(2)sin(gamma-pi/4)=0),(R^2/2(sin alpha + sin beta + cos (gamma))+lambda=0),(alpha+beta+gamma-2pi=0):}`
Первое уравнение - из первого вычли второе. ВТорое - из второго вычли третье.

2016-03-28 в 09:21 

Я вот сейчас подумал, а нельзя было воспользоваться симметричностью системы? Вот смотрите, задача:
`{(R^2/2(sin alpha + sin beta + sin (gamma))->max ), (alpha+beta+gamma=2pi), (alpha>=0),(beta>=0),(gamma>=0):}`
Но если мы переименуем альфу, бету и гамму, то ничего не поменяется. МОжно ли отсюда сделать вывод, что `alpha=beta=gamma`?

2016-03-28 в 09:30 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
то есть вот такая система Кстати, про `{R^2}/2` можно забыть... это же константа...

В комментарии от 2016-03-28 в 08:56 мск у Вас очень загадочно найдены частные производные от суммы синусов ... :upset:

Но если мы переименуем альфу, бету и гамму, то ничего не поменяется. МОжно ли отсюда сделать вывод, что `alpha=beta=gamma`?
А почему это не будет точной минимума?... :nope:

2016-03-28 в 15:38 

Ой, мда. В производных накосячил, конечно
`{(R^2/2 * cos alpha +lambda=0), (R^2/2 * cos beta +lambda=0), (R^2/2 * cos gamma +lambda=0),(alpha+beta+gamma-2pi=0):}`
Отсюда можно повыражать косинусы. Только вот четвертое уравнение без косинусов, с арккосинусами не хочется возиться.
Мб поскладывать как-нибудь уравнения

2016-03-28 в 18:13 

Вообще если по очереди вычитать из первого второе, из второго третье, из первого третье, то получится `cos alpha = cos beta = cos gamma`. Дальше можно рассмотреть все случаи: `alpha = x=beta=gamma`, тогда они все по `2pi/3`. Или другой случай `alpha = x, beta=2pi-x, gamma = 2pi-x`. Тогда `alpha = 2pi` - неверно. И последний случай `alpha=x=beta, gamma=2pi-x` - он симметричен предыдущему

2016-03-28 в 20:37 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Тогда `alpha = 2pi` - неверно. - очевидно, что это точка минимума (вырожденный треугольник нулевой площади)....
Ну, а то, что случай `alpha = x=beta=gamma`, тогда они все по `2pi/3`. - максимум, это надо ещё проверить... " я так думаю"(с) ...

2016-03-29 в 17:31 

Можно вот так проверить. Все углы по 60, значит площадь ненулевая. Минимум, очевидно, когда площадь нулевая, значит это не точка минимума, а максимум

2016-03-29 в 20:05 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
MestnyBomzh, Минимум, очевидно, когда площадь нулевая, значит это не точка минимума, а максимум
Если бы у Вас была функция одной переменной, то там для гладких функций минимумы обязательно чередуются с максимумами ... (возможно между ними стоят седловые точки)...
У функций многих переменных всё не так просто... можно легко придумать пример функции, у которой есть несколько минимумов и седловых точек, но нет максимумов... (например, возьмите два параболоида ... немного раздвиньте... получите два минимума и одно седло без максимумов)... :nope:
Вы всё время пытаетесь увернуться от критерия оптимальности... :upset: ... Понятно, что в этой задаче ответ известен, но это просто несложный пример на применение правильного аппарата исследования...

2016-03-29 в 21:23 

А критерий оптимальности это что? Это неравенства системы?

2016-03-29 в 22:55 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
MestnyBomzh, А критерий оптимальности это что? Это неравенства системы?
Причём тут неравенства?... неравенства определяют множество допустимых решений...
Ну, а классификация точек экстремума функции многих переменных - это материал первого курса матанализа... :nope: ... в нелинейном случае используют вторые производные...

2016-03-29 в 22:57 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Ну, ещё есть теорема Куна - Таккера... возможно её применение подразумевалось в данном исследовании...

2016-03-30 в 00:13 

Ааа, матрица Гессе?

2016-03-30 в 07:42 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
MestnyBomzh, Ааа, матрица Гессе? - как вариант...

2016-03-31 в 02:39 

ага, спасибо.

2016-03-31 в 04:34 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome...

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная