00:26 

Вопрос по пределам

Верны ли следующие утверждения? Почему?

1) Если бесконечно малая `alpha(x) ~~ beta(x)`, `x->a`, то для любой функции `f(x)`, имеющей предел в точке `a`, справедливо `lim_(x->a) (f(x)+alpha(x))=lim_(x->a) (f(x)+beta(x))`.

2) Если `alpha(x) ~~ beta(x)`, `x->a`, то для любой функции `f(x)` , имеющей предел в точке `a`, справедливо `lim_(x->a) (f(x)*alpha(x))=lim_(x->a) (f(x)*beta(x))`.

@темы: Пределы

Комментарии
2015-11-02 в 00:39 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Это свойства, которые обычно применяют для "хороших" эквивалентных функций... но, по идее, нужно больше оговорок про `alpha(x)` и `beta(x)` - ведь у них самих может не существовать предела в точке `x = a`...

2015-11-02 в 01:43 

All_ex, это последнее задание для подготовки к коллоквиуму, я в пт посмотрел мне показалось всё легким, а сейчас застрял на этом.
Если б.м. функции `alpha(x)` и `beta(x)` сравнимы при `x->a`, то, как понимаю, уже по определению существует предел, а если существует предел частного, то вроде бы (не уверен) существует и предел числителя и предел знаменателя...и если этот предел не равен нулю, то они эквивалентны.
Думается такой смысл заложен в словах Если бесконечно малая `alpha(x) ~~ beta(x)`, `x->a`. Хотя не, бред написал, например, `lim_(x->0) sin(x)/x=1`, `sin(x)` расходящаяся.
Получается, это неверно потому что, например, предел произведения равен произведению пределов, предела `sin(x)` не существует так?
Хотя с другой стороны, например, для функции `f(x)=x` предел `lim_(x->0) xsin(x)=0` существует как произведение б.м. функции на ограниченную функцию...и `lim_(x->0) x^2=0` :hmm:

2015-11-02 в 01:57 

Контрпример бы...

2015-11-02 в 02:10 

А можно еще спросить. Если функция имеет предел в точке, то она непрерывна в этой точке. Это верно, а обратное неверно, например функция Вейерштрасса да?

2015-11-02 в 06:02 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Если функция имеет предел в точке, то она непрерывна в этой точке.
Это что за ересь... :upset: ... прочитайте ещё раз определение непрерывности ...

предел `lim_(x->0) xsin(x)=0` существует как произведение б.м. функции на ограниченную функцию..
Здесь у Вас обе функции бесконечно малые...
И Вы всё пытаетесь посмотреть на "хорошие" эквивалентности... Понятно, что для `sin(x) sim x` выполняются равенства `lim_{x to 0} f(x)*x = lim_{x to 0} f(x)*sin(x) = 0 \ \ and \ \ lim_{x to 0} f(x) + x = lim_{x to 0} f(x) + sin(x) = lim_{x to 0} f(x)` ... это просто применение арифметических свойств...

Контрпример бы...
Рассмотрим функции `alpha(x) = x + cos(x) sim beta(x) = x + sin(x)` при `x to infty`... они эквивалентны, но не имеют предела... поэтому, если `lim_{x to infty} f(x) != 0`, то ни один предел из Ваших свойств не будет существовать... а, следовательно, писать для них равенство некорректно...

2015-11-02 в 13:12 

All_ex, вернее так: Если функция имеет предел в точке, равный значению функции в этой точке, то она непрерывна в этой точке. Так как это определение, то верно по идее и обратное. Дифференцируемая функция в точке, это же то же самое, то есть она в этой точке должна иметь предел, но не обязательно равный значению функции в самой точке да?

Спасибо! Теперь понял с примером :)

2015-11-02 в 13:36 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Дифференцируемая функция в точке, это же то же самое, то есть она в этой точке должна иметь предел, но не обязательно равный значению функции в самой точке да?
:upset: ... В смысле...
Дифференцируемость функции - это более сильное свойство, чем непрерывность... (то есть, если дифференцируема, то непрерывна)...
Хотя может Ваш вопрос про предел самой производной?... там, если мне не изменяет память, существование предела от производной автоматически означает существование производной в точке... то есть непрерывность самой производной...

Хотя к чему здесь эти вопросы я не понимаю... :upset: ... просто решили спросить дополнительный вопрос?... :)

2015-11-03 в 02:10 

All_ex, да, просто так спросил. Нам про производные еще не читали. Коллоквиум написал нормально, но не без ошибок. Ошибка в том, что последовательность, предел которой равен бесконечности отметил как сходящуюся, хотя вроде знаю определение предела число а называется пределом и то, что бесконечность не число.
Спасибо!

2015-11-03 в 07:42 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
да, просто так спросил. Нам про производные еще не читали. - странно... откуда тогда вопрос про дифференцирование... :upset:

Коллоквиум написал нормально - поздравляю... :)

welcome ...

2015-11-03 в 13:17 

All_ex, сам придумал, я думал, что если функция недифференцируема в точке, то она не имеет предела в этой точке.

2015-11-03 в 13:36 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
сам придумал, - работаете на опережение... :) ...

я думал, что если функция недифференцируема в точке, то она не имеет предела в этой точке.
Нет... функция может быть непрерывной, но недифференцируемой... это признак того, что график имеет угол... (например, модуль икса в точке ноль) ...

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная