05:48 

Середина

wpoms.
Step by step ...


Дан треугольник `ABC`. `S` - окружность, проходящая через `B` и касающаяся `CA` в `A`, `T` - окружность, проходящая через `C` и касающаяся `AB` в `A`. Окружности `S` и `T` пересекаются в `A` и `D`. `E` - точка пересечения прямой `AD` с окружностью, проходящей через точки `A`, `B`, `C`. Докажите, что `D` является серединой `AE`.



@темы: Планиметрия

Комментарии
2015-09-30 в 16:53 

Белый и пушистый (иногда)
Приятная задача.
Треугольники ABD и CAD подобны, откуда AD^2 = BD*CD.
Треугольники DBE и DEC подобны исходному треугольнику ABC, откуда СD=AC/AB*DE, BD=AB/AC*DE. Подставляя полученные соотношения в первое равенство, получаем AD^2=DE^2.

2015-09-30 в 20:59 

VEk, красивое решение! :white: Спасибо! Вот ещё один способ.
При гомотетии с центром `A` и коэффициентом `k=1/2` окружность `Omega (O, R)`, описанная около треугольника `ABC`, перейдёт в окружность `omega` с диаметром `AO`, а точка `Е` перейдёт в точку `D`. Для обоснования последнего утверждения (`H_A^{1/2}(E) = D`) достаточно показать, что четырёхугольник `ANDM` является вписанным в окружность `omega` (`N` – середина `AC`, `M` – середина `AB`), а значит, `D \in \omega`. `H_A^{1/2}(E) = D` ==> `D` – середина `AE`.


   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная